Кто разбираеться в комплексных числах, помогите плиз. Дам 100 баллов.
Надо упростить выражение и записать ответ в алгебраической форме
((√2-i√2)/(√3-i))^(26)

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Рассмотрим комплексные числа $a=sqrt{2}-isqrt{2}$ и $b=sqrt{3}-i$ . Тогда их модуль комплексных чисел:

$|a|=sqrt{(sqrt{2})^2+(sqrt{2})^2}=sqrt{2+2}=2\ \ |b|=sqrt{(sqrt{3})^2+1}=sqrt{3+1}=2$

Поскольку в комплексного числа а $cos alpha >0,~ sinalpha <0$ , то данный угол "альфа" лежит в четвертой четверти.

$a=2Bigg(dfrac{sqrt{2}}{2}-idfrac{sqrt{2}}{2}Bigg)=2Bigg(cos Big(-dfrac{pi}{4}Big)+isinBig(-dfrac{pi}{4}Big)Bigg)$

Аналогично в комплексного числа b угол 'бетта' лежит в четвертой четверти, следовательно:

$b=2Bigg(dfrac{sqrt{3}}{2}-idfrac{1}{2}Bigg)=2Bigg(cosBig(-dfrac{pi}{6}Big)+isinBig(-dfrac{pi}{6}Big)Bigg)$

Тогда по формуле Муавра

$a^{26}=2^{26}Bigg(cosBig(-dfrac{pi}{4}cdot 26Big)+isinBig(-dfrac{pi}{4}cdot 26Big)Bigg)=2^{26}Bigg(cos dfrac{13pi}{2}-isindfrac{13pi}{2}Bigg)\ \ \ b^{26}=2^{26}Bigg(cosBig(-dfrac{pi}{6}cdot 26Big)+isinBig(-dfrac{pi}{6}cdot 26Big)Bigg)=2^{26}Bigg(cosdfrac{13pi}{3}-isindfrac{13pi}{3}Bigg)$

Окончательно получим:

$Bigg(dfrac{a}{b}Bigg)^{26}=dfrac{2^{26}Bigg(cos dfrac{13pi}{2}-isindfrac{13pi}{2}Bigg)}{2^{26}Bigg(cosdfrac{13pi}{3}-isindfrac{13pi}{3}Bigg)}=dfrac{0-icdot 1}{dfrac{1}{2}-idfrac{sqrt{3}}{2}}=-dfrac{2i}{1-isqrt{3}}=\ \ \ =-dfrac{2i(1+isqrt{3})}{(1-isqrt{3})(1+isqrt{3})}=-dfrac{2i(1+isqrt{3})}{1+3}=-dfrac{i(1+isqrt{3})}{2}=dfrac{sqrt{3}}{2}-dfrac{1}{2}i$

Кто разбираеться в комплексных числах, помогите плиз. Дам 100 баллов. Надо упростить выражение и записать ответ в алгебраической форме ((√2-i√2)/(√3-i))^(26)

Ответ

Проверено экспертом

Кто разбираеться в комплексных числах, помогите плиз. Дам 100 баллов.
Надо упростить выражение и записать ответ в алгебраической форме
((√2-i√2)/(√3-i))^(26)