Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

a) f(x) = 1/3 x³ - x² + 6 ;

b) f(x) = x² ㏑ x [1;e] .

Ответ

Автор - Senpai908

а) Вычислим производную функции

$f'(x)=Big(dfrac{1}{3}x^3-x^2+6Big)'=dfrac{1}{3}cdot 3x^2-2x=x^2-2x$

И приравниваем ее к нулю

$x^2-2x=0\ x(x-2)=0\ x_1=0\ x_2=6$

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции

$f(0)=dfrac{1}{3}cdot 0^3-0^2+6=6\ \ f(2)=dfrac{1}{3}cdot 2^3-2^2+6=dfrac{14}{3}~~~-max$

Наибольшее значение функции равно 6,а наименьшее — $dfrac{14}{3}$ .

б) Аналогично вычислим производную функции

$f'(x)=Big(x^2ln xBig)'=Big(x^2Big)'cdot ln x+x^2cdot Big(ln xBig)'=2xln x+x^2cdotdfrac{1}{x}=x(2ln x+1)$

Приравниваем производную функции к нулю

$x(2ln x+1)=0\ x_1=0\ \ 2ln x+1=0~~~Rightarrow~~~ ln x=-0.5~~~Rightarrow~~~ x_2=e^{-0.5}=dfrac{1}{sqrt{e}}$

Корни $x=dfrac{1}{sqrt{e}}$ и $x=0$ не принадлежат отрезку $[1;e].$

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на концах отрезка

$f(1)=1^2cdot ln 1=0~~~-min\ f(e)=e^2ln e=e^2~~~-max$

Наибольшее значение функции равно e², а наименьшее — 0.