Стрелок при каждом выстреле независимо от предыдущих попыток поражает цель с вероятностью 1/3. Сделано 10 выстрелов. Найдите вероятность того, что стрелок попал не менее двух раз, если известно, что хотя бы раз он попал

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Вероятность промаха $q=1-p=1-dfrac{1}{3}=dfrac{2}{3}$

Пусть событие А - стрелок попал не менее двух раз, а событие В - попал хотя бы раз.

Вероятность того, что стрелок ни разу не попадет в мишень равна

$p_1=q^{10}=dfrac{2^{10}}{3^{10}}$

Вероятность того, что стрелок попадет только один раз, равна

$p_2=C^1_{10}pq^{9}=dfrac{10}{3}cdot dfrac{2^9}{3^9}$

Тогда вероятность того, что стрелок попадет не менее двух раз, равна

$P(A)=1-Big(p_1+p_2Big)=1-Big(dfrac{10}{3}cdotdfrac{2^9}{3^9}+dfrac{2^{10}}{3^{10}}Big)$

Вероятность того, что стрелок попадет хотя бы раз, равна

$P(B)=1-p_1=1-dfrac{2^{10}}{3^{10}}$

Тогда по формуле Байеса, искомая вероятность:

$P(A|B)=dfrac{P(B|A)*P(A)}{P(B)}=dfrac{left(1-Big(dfrac{10}{3}cdotdfrac{2^9}{3^9}+dfrac{2^{10}}{3^{10}}Big)right)cdot 1}{1-dfrac{2^{10}}{3^{10}}}approx0.912$

Ответ: 0,912.