докажите, что существует 2017 подряд идущих составных чисел

Числа вида 2019!+k, k∈N, 2≤k≤2018 удовлетворяют условию.

И действительно.

Заметим, что n! делится на x ∀x≤n, x∈N (т.к. n!=1*...*x*...*n).

А значит 2019! делится на ∀k≤2019, но нам достаточно делимости на ∀k≤2018. А значит 2019!+k=k*(1*...*(k-1)*(k+1)*...*2019+1), т.е. каждое число 2019!+k при вышеуказанных условиях представимо в виде произведения двух натуральных множителей, ни один из которых не равен 1, а значит все эти числа составные.

Выбранных нами чисел как раз 2018-2+1=2017.

Ч.т.д.