Помогите, матем анали

Ответ

Проверено экспертом

Автор - xERISx

Так как под корнем чётной степени стоит отрицательное число, то вычисления будут в области комплексных чисел.

$sqrt[4]{-625}=sqrt[4]{-1cdot625}=sqrt[4]{-1cdot5^4}=5sqrt[4]{-1}$

Ниже приведены два способа извлечения корня из (-1).

В области комплексных чисел (-1) можно представить в алгебраической форме : -1 = -1 + 0·i , a= -1; b = 0

$sqrt{-1}=pmBigg(sqrt{dfrac{a+sqrt{a^2+b^2}}2}+sqrt{dfrac{-a+sqrt{a^2+b^2}}2}iBigg)=\\~~~=pmBigg(sqrt{dfrac{-1+sqrt{1+0}}2}+sqrt{dfrac{1+sqrt{1+0}}2}iBigg)=pm i$

$1)~~sqrt{-1}=+i;~~~a=0;~b=1\\~~sqrt{i}=pmBigg(sqrt{dfrac{0+sqrt{0+1}}2}+sqrt{dfrac{0+sqrt{0+1}}2}iBigg)=pm Bigg(dfrac 1{sqrt2}+dfrac 1{sqrt2}iBigg)$

$2)~~sqrt{-1}=-i;~~~a=0;~b=-1\\~~sqrt{-i}=pmBigg(sqrt{dfrac{0+sqrt{0+1}}2}-sqrt{dfrac{0+sqrt{0+1}}2}iBigg)=pm Bigg(dfrac 1{sqrt2}-dfrac 1{sqrt2}iBigg)$

$Boldsymbol{sqrt[4]{-625}=5sqrt[4]{-1}=5sqrt{pm i}=pm5Bigg(dfrac 1{sqrt2}pmdfrac 1{sqrt2}iBigg)=pm2,5{sqrt2}big(1pm ibig)}$

========================================

В области комплексных чисел (-1) можно представить в тригонометрической форме. Так как r = 1 ,

$-1=cosbig(pi+2pi kbig)+sinbig(pi+2pi kbig)i,~~kinmathbb Z$

Тогда для извлечения корня можно использовать формулу Муавра

$sqrt[4]{-1}=cosBigg(dfrac{pi+2pi k}4Bigg)+sinBigg(dfrac{pi+2pi k}4Bigg)i=\\~~~~~~~=cosBigg(dfrac{pi}4+dfrac{pi k}2Bigg)+sinBigg(dfrac{pi}4+dfrac{pi k}2Bigg)i;~~~k=0;1;2;3$

$\\k=0;~~cosbigg(dfrac{pi}4bigg)=dfrac{sqrt2}2;~sinbigg(dfrac{pi}4bigg)=dfrac{sqrt2}2\\k=1;~~cosbigg(dfrac{pi}4+dfrac{pi}2bigg)=-dfrac{sqrt2}2;~sinbigg(dfrac{pi}4+dfrac{pi}2bigg)=dfrac{sqrt2}2\\k=2;~~cosbigg(dfrac{pi}4+pibigg)=-dfrac{sqrt2}2;~sinbigg(dfrac{pi}4+pibigg)=-dfrac{sqrt2}2\\k=3;~~cosbigg(dfrac{pi}4+dfrac{3pi}2bigg)=dfrac{sqrt2}2;~sinbigg(dfrac{pi}4+dfrac{3pi}2bigg)=-dfrac{sqrt2}2$

$boldsymbol{sqrt[4]{-625}=5sqrt[4]{-1}=pm5Bigg(dfrac {sqrt2}2pmdfrac {sqrt2}2iBigg)=pm2,5{sqrt2}(1pm i)}$

помогите, матем анали

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения