в трапецию меньшее основание которой равно 1 вписана окружность радиуса 1.5 найдите радиус окружности описанной около этой трапеции если известно что эта окружночть существует

Ответ

Автор - Misha001192

Решим данную задачу обобщённым способом. Начнём с теории:

Если в трапецию вписана окружность, то сумма его оснований равна сумме боковых сторон, BC + AD = AB + CD
Если около трапеции описана окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180°. Это означает, что данная трапеция является равнобокой, AB = CD
В равнобокой трапеции её высота равна диаметру вписанной окружности, BH = d = 2r
По свойству равнобокой трапеции высота, опущенная на бо'льшее основание, делит её на два отрезка, бо'льший из которых равен полусумме оснований, а ме'ньший - полуразности оснований

Пусть BC = a, AD = b, BH = 2r, тогда HD = (b + a)/2, AH = (b - a)/2

AB + CD = BC + AD = a + b ⇒ AB = CD = (b + a)/2

В ΔABH применим теорему Пифагора: BH² + AH² = AB²

(2r)² + ( (b - a)/2 )² = ( (b + a)/2 )²

Умножаем обе части на 4 и раскрываем скобки:

16r² + b² - 2ab + a² = b² + 2ab + a²

16r² = 4ab ⇒ r² = ab/4 ⇒ r = √(ab)/2 ⇒ BH = d = √ab

В ΔBHD: BD² = BH² + HD² = (2r)² + ( (b + a)/2 )²

4BD² = 16r² + b² + 2ab + a² = b² + 6ab + a²

BD = √(b² + 6ab + a²)/2

В ΔABH: sin∠A = BH/AB = 2r/(b + a)/2 = 4r/(b + a) = 2√(ab)/(b + a)

По теореме синусов в ΔABD: R = BD/(2•sin∠A)

$R=frac{sqrt{b^{2}+6ab+a^{2}}}{2}:frac{4sqrt{ab}}{b+a}=frac{(b+a)*sqrt{b^{2}+6ab+a^{2}}}{8sqrt{ab}}=frac{b+a}{8}*sqrt{frac{b}{a}+frac{a}{b}+6}\\$

Обобщённая формула для нахождения радиуса описанной около трапеции окружности через известные основания, а и b

$R=frac{(4r^{2}+a^{2})*sqrt{(4r^{2}+a^{2})^{2}+16a^{2}r^{2}}}{16a^{2}r}\\$

Обобщённая формула для нахождения радиуса описанной окружности через известный радиус вписанной окружности и основание

Подставляем в формулу a = 1 , r = 1,5 и находим искомый радиус:

4r² = (2r)² = 3² = 9 , a² = 1² = 1

$R=frac{10*sqrt{136}}{24}=frac{10*2sqrt{34}}{24}=frac{5sqrt{34}}{6}\\$

Несложно найти все стороны данной трапеции: BC = 1 , AD = 9 , AB = CD = 5

Также можно заметить, в ΔABH: cos∠A = AH/AB

cos∠A = (b-a)/2 / (b+a)/2 = (b - a)/(b + a)

∠A = ∠D = arccos( (b - a)/(b + a) )

Ответ: 5√(34)/6