Логарифмическое неравенство

Ответ

Проверено экспертом

Автор - hote

$displaystyle log_2(x^2-4)-3log_2frac{x+2}{x-2}>2\\ODZ:\\left { {{x^2-4>0} atop {frac{x+2}{x-2}>0; x-2neq 0 }} right. \\(-oo;-2) (2;+oo)$

при х>2 (х+2)>0; (x-2)>0 тогда

$displaystyle log_2(x-2)(x+2)-3(log_2(x+2)-log_2(x-2))>2\\log_2(x-2)+log_2(x+2)-3log_2(x+2)+3log_2(x-2)>2\\4log_2(x-2)-2log_2(x+2)>2\\2(2log_2(x-2)-log_2(x+2)>2\\log_2(x-2)^2-log_2(x+2)>1\\log_2frac{(x-2)^2}{x+2}>1$

$displaystyle frac{(x-2)^2}{(x+2)}>2^1\\frac{(x-2)^2-2(x+2)}{x+2}>0\\frac{x^2-6x}{x+2}>0\\frac{x(x-6)}{x+2}>0$

__-____-2___+___0__-___6__+___

ответом на неравенство будет промежуток (-2;0)∪(6;+∞)

с учетом условия (6;+∞)

при х<-2 (x+2)<0; (x-2)<0 тогда

$log_2(-x+2)+log_2(-x-2)-3log_2(-x-2)+3log_2(-x+2)>2\\4log_2(2-x)-2log_2(-x-2)>2\\2(2log_2(2-x)-log_2(-x-2)>2\\log_2(2-x)^2-log_2(-x-2)>1\\log_2frac{(2-x)^2}{(-x-2)}>1\\frac{(2-x)^2}{(-x-2)}>2^1\\frac{(2-x)^2-2(-x-2)}{x+2}>0\\frac{x^2-2x+8}{-(x+2)}>0$

Числитель имеет положительный знак для любого х

___+________ -2_____-______

Решением будет промежуток (-∞;-2)

С учетом условия (-∞;-2)

Ответ: (-∞;-2)∪(6;+∞)