100 баллов - две задачи с производными функции!

Ответ

Автор - QDominus

Задание 2.

Дана функция:

$f(x) = 4 cos( frac{x}{2} ) - x sqrt{2}$

Найдём производную ( f'(x) = g(x) ):

$g(x) = frac{d}{dx} (4 cos( frac{x}{2} ) ) + frac{d}{dx} ( - sqrt{2}x ) \ g(x) = 4( - sin( frac{x}{2} ) times frac{1}{2} ) - sqrt{2} \ g(x) = - 2 sin( frac{x}{2} ) - sqrt{2}$

Теперь найдём g(x) < 0:

$- 2 sin( frac{x}{2} ) < sqrt{2} \ sin( frac{x}{2} ) > - frac{ sqrt{2} }{2}$

Заменим x/2 на t:

$sin(t) > - frac{ sqrt{2} }{2}$

Тогда

$arcsin( - frac{ sqrt{2} }{2}) < t < pi - arcsin( - frac{ sqrt{2} }{2} )$

Так как период синуса 2π, прибавим его к серии точек:

$- frac{pi}{4} + 2pi n < t < pi + frac{pi}{4} + 2pi n\ - frac{pi}{4} + 2pi n < t < frac{5pi}{4} + 2pi n$

Обратная замена:

$- frac{pi}{4} + 2pi n < frac{x}{2} < frac{5pi}{4} + 2pi n \ - frac{pi}{2} + 4pi n < x< frac{5pi}{2} + 4pi n$

Это и есть ответ.

Задание 3.

Дана функция:

$y = (3x + 1)^{3} times cos( {x}^{2} + 2x + 1)^{3} + pi^{3}$

Найдём производную ( y' = g(x) ):

$g(x) = frac{d}{dx} ((3x + 1)^{3} cos(( {x + 1)}^{2} ) + pi^{3} \ g(x) = frac{d}{dx} (( {3x + 1)}^{3} ) cos((x + 1)^{2} ) + frac{d}{dx} ( cos( {(x + 1)}^{2} ) (3x + 1)^{3} \ g(x) = 3(3x + 1)^{2} times 3cos((x + 1)^{2} ) + (3x + 1)^{3} ( - sin((x + 1)^{2} times 2(x + 1)) \ g(x) = 9(3x + 1) ^{2} cos( {(x + 1)}^{2} ) -2 (3x + 1)^{3} sin( {(x + 1)}^{2} ) (x + 1)$

Теперь подставляем вместо x число -1:

$g( - 1) = 9 {(3( - 1) + 1)}^{3} cos( {( - 1 + 1)}^{2} ) - 2 times (3( - 1) + 1)^{3} sin(( - 1 + 1)^{2} ) ( - 1 + 1) \ g( - 1) = 9( - 2)^{3} times cos(0) - 0 \ g(-1) = 9 times ( - 8) times 1 \ g(-1) = - 72$

Ответ: -72.