Буровая установка приводится в движение двумя большими, зацепленными друг за друга зубчатыми колёсами на неподвижных осях, имеющими форму тонких обручей радиусов R1 и R2. Массы колёс - m1 и m2 соответственно, причём массой, сосредоточенной в спицах и осях колёс можно пренебречь. Чтобы раскрутить колёса (без приведения в движение других частей установки) пришлось совершить работу A. Найдите угловую скорость ω вращения первого колеса.
Дайте ответ для R1 = 2.5 м, R2 = 5.0 м, m1 = 320.0 кг, m2 = 900.0 кг, A = 30.0 кДж в 1/с с точностью до десятых

Ответ:

2,8 рад/с

Объяснение:

Дано:

R₁ = 2,5 м

R₂ = 5,0 м

m₁ = 320 кг

m₂ = 900 кг

A = 30 кДж = 30 000 Дж

___________

ω₁ - ?

1)

Поскольку колеса находятся в зацеплении, то линейная скорость точки А равна

V = V₁ = V₂

V₁ = ω₁·R₁             (1)

V₂ = ω₂·R₂           (2)

Приравняем (2) и (1)

ω₂·R₂ =  ω₁·R₁

ω₂ =  (R₁/R₂)·ω₁ = (2,5/5,0)·ω₁ = 0,5·ω₁

2)

Считаем зубчатые колеса тонкими обручами найдем их моменты инерции:

J₁ = m₁·R₁² = 320·2,5² = 2 000 кг·м²

J₂ = m₂·R₂² = 900·5² = 22 500 кг·м²

3)

Кинетические энергии колес:

T₁ = J₁·ω₁²/2 = 2000·ω₁² / 2 =  1000·ω₁²

T₂ = J₂·ω₂²/2 = 22 500·0,5²ω₁²/2  ≈ 2810·ω₁²

Суммарная кинетическая энергия:

T = T₁+T₂ = 1000·ω₁² +  2810·ω₁² = 3 810·ω₁²  Дж

4)

По закону сохранения энергии:

T = A

3 810·ω₁² = 30 000

ω₁ = √ (30 000 / 3810) ≈ 2,8 рад/с