докажите что при любом натуральном n выполняется равенство 1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3=2^2(2n^2-1)

Ответ:

Докажем с помощью математической индукций 

база 1 верна 

теперь переход n->n+1

begin{lgathered}1^3+2^3+3^3+...n^3=frac{n^2(n+1)^2}{4}\end{lgathered}13+23+33+...n3=4n2(n+1)2

переход

begin{lgathered}1^3+2^3+3^3+...n^3+(n+1)^3=frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\end{lgathered}13+23+33+...n3+(n+1)3=4(n+1)2(n+2)2

 так как  предыдущий ряд равен frac{n^2(n+1)^2}{4}4n2(n+1)2

 то нужно доказать что begin{lgathered}frac{(n+1)^2*n^2}{4}+(n+1)^3=frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\end{lgathered}4(n+1)2∗n2+(n+1)3=4(n+1)2(n+2)2

докажем 

begin{lgathered}frac{(n+1)^2*n^2}{4}+(n+1)^3=frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\ frac{(n+1)^2*n^2+4(n+1)^3}{4}=frac{(n+1)^2*(n+2)^2}{4}\ frac{(n+1)^2(n^2+4(n+1))}{4}=frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\ frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}=frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\end{lgathered}4(n+1)2∗n2+(n+1)3=4(n+1)2(n+2)24(n+1)2∗n2+4(n+1)3=4(n+1)2∗(n+2)24(n+1)2(n2+4(n+1))=4(n+1)2(n+2)24(n+1)2(n+2)2=4(n+1)2(n+2)2

Доказано

2)begin{lgathered}1^3+3^3+5^3...+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)\ n=1 verno\ n->n+1\ 1^3+3^3+5^3...(2n-1)^3+(2n+1)^3=(n+1)^2(2(n+1)^2-1)\ n^2(2n^2-1)+(2n+1)^3=(n+1)^2(2(n+1)^2-1)\ (n+1)^2(2n^2+4n+1)=(n+1)^2(2n^2+4n+1)end{lgathered}13+33+53...+(2n−1)3=n2(2n2−1)n=1 vernon−>n+113+33+53...(2n−1)3+(2n+1)3=(n+1)2(2(n+1)2−1)n2(2n2−1)+(2n+1)3=(n+1)2(2(n+1)2−1)(n+1)2(2n2+4n+1)=(n+1)2(2n2+4n+1)

Доказано