Пользуясь определением непрерывности доказать что функция 2sinx+cosx непрерывна в каждой точке области определения

По определению, непрерывность функции значит, что предел в любой точке равен ее значению. Чтобы это было более очевидно, можно преобразовать исходную функцию:

Так как функция y = sin(x) непрерывна, то и заданная функция так же непрерывна.

Еще можно сказать, что сумма двух непрерывных функция дает непрерывную функцию. Синус и косинус - функции непрерывные.