в прямоугольнике abcd проведены биссектрисы всех внутренних углов.Пересекаясь,эти биссектрисы образуют четырехугольник периметра 12корней из двух.Найдите наименьшую сторону прямоугольника ABCD,если его периметр равен 28.

Решение (см рисунок)
Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Прямоугольник - параллелограмм.
4 биссектрисы отсекают от него равнобедренные прямоугольные треугольники с катетами, равными меньшей стороне.
Прямоугольник, образованный пересечением биссектрис - квадрат (равенство его сторон нетрудно доказать). 
Периметр этого квадрата равен 12√3,  каждая его сторона 3√2, 
диагональ - 3√2*√2=6
Полупериметр  прямоугольника равен 28:2=14.
 Пусть АВ=СД=х,
тогда ВС=АД= 14-х
Соединим середины АВ и СД отрезком, параллельным АD.
Средняя его часть-диагональ получившегося пересечением биссектрис квадрата, а боковые части - медианы половин отсечённых биссектрисами треугольников
 и равны х:2 - половине меньшей стороны прямоугольника . 
Большая сторона равна х/2+х/2+6=х+6
Р:2=(х+х+6)=14
2х=8
х=4
АВ=CD=4 меньшая сторона прямоугольника
BC=AD=14-4=10
--------
bzs@