Как решить интеграл под номером 4.15 ? напишите плиз подробное с решение)))

Ответ

Автор - Minsk00

Найти определенный интеграл $intlimits^6 _{2sqrt {3} } frac{dx}{ x^{2} sqrt{ x^{2} -9} }$
Решение
В начале найдем неопределенный интеграл $intfrac{dx}{ x^{2} sqrt{ x^{2} -9} }$
Сделаем замену переменных $x= frac{3}{cosy}; dx = (frac{3}{cosy})' = frac{3siny}{cos^{2} y} = frac{3tgy}{cosy}$
Подставляем в интеграл
$intfrac{dx}{ x^{2} sqrt{ x^{2} -9} } = intfrac{ frac{3tgy}{cosy}}{ frac{9}{cos^{2}y } sqrt{ frac{9}{cos^{2}y}-9}} ,dy= frac{1}{9} int frac{siny}{ sqrt{frac{sin^{2}y}{cos^{2}y} }} , dy= frac{1}{9} int{cosy} , dx=$
$= frac{siny}{9}$
Обратная замена переменных
$siny= sqrt{1-cos^{2}} = sqrt{1-( frac{3}{x})^{2} }= frac{ sqrt{x^{2}-9}}{x}$
Поэтому можно записать
$intfrac{dx}{ x^{2} sqrt{ x^{2} -9} } =frac{siny}{9}= frac{ sqrt{x^{2}-9}}{9x}$
Подставляем выражение в определенный интеграл
$intlimits^6_{2sqrt {3} }frac{dx}{ x^{2}sqrt{ x^{2}-9} }= frac{ sqrt{ x^{2} -9}}{9x} left[begin{array}{cc}6\2sqrt{3}end{array}right]=frac{sqrt{6^2-9}}{54}-frac{sqrt{12-9}}{18 sqrt{3}}=frac{sqrt{3}}{18}-frac{1}{18}=$
$=frac{sqrt{3}-1}{18}$