Первое, что приходит на ум в случае с квадратом. Любой треугольник либо является прямоугольным, либо может быть представлен, как два прямоугольных треугольников с общим катетом, который можно считать высотой.
Прямоугольный треугольник можно достроить до прямоугольника, при этом очевидно, что искомый треугольник будет занимать ровно половину этого прямоугольника, а значит и его площадь будет равна половине площади прямоугольника. Sпр = произведению сторон, Sпр тр = 12 *Sпр = 12 *произведение катетов. Любой из катетов по сути является высотой, а второй - основанием.
В случае, когда искомый треугольник, как оговаривалось выше, не является прямоугольным, а представляется в виде двух прямоугольных, не трудно заметить, что две стороны прямоугольных, а именно их основание составляют основание исходного, а высоты этих треугольников совпадают с высотой исходного.
Нагляднее показать формулой:
S не пр = Sпр1 + Sпр2 = 12 *а*b + 12*b*c = 12*b*(a+c), где b - высота, а (a+c) - основание исходного треугольника. Понимаю, что в тексте не очень, но постарался донести идею.
Трапеция аналогично представляется в виде двух треугольников и прямоугольника. Затем проводится аналогичное доказательство. Вот.