Решить тригонометрическое уравнение

Ответ

Проверено экспертом

Автор - AnonimusPro

$sin^2x+frac{1}{4}sin^2(3x)=sinx*sin^2(3x)$

для удобства сделаем замену:

$sinx=a, a in [-1;1]$

также:

$sin3x=3sinx-4sin^3x=3a-4a^3$

получим:

$a^2+frac{1}{4}(3a-4a^3)^2=a(3a-4a^3)^2\a^2+frac{1}{4}(3a-4a^3)^2-a(3a-4a^3)^2=0\a^2(1+frac{1}{4}(3-4a^2)^2-a(3-4a^2)^2)=0\a_1=0\1+4a^4-6a^2+frac{9}{4} -16a^5+24a^3-9a=0\-16 a^5 + 4 a^4 + 24 a^3 - 6 a^2 - 9 a + frac{13}{4}=0\a^5-frac{1}{4} a^4-frac{3}{2} a^3+frac{3}{8} a^2+frac{9}{16}a -frac{13}{64}=0$

подбираем корни:

$P(a)=a^5-frac{1}{4} a^4-frac{3}{2} a^3+frac{3}{8} a^2+frac{9}{16}a -frac{13}{64}$

$a=1Rightarrow P(1)=1-frac{1}{4} -frac{3}{2} +frac{3}{8} +frac{9}{16} -frac{13}{64}=-frac{1}{64} neq 0\a=-1Rightarrow P(-1)=-1-frac{1}{4} +frac{3}{2} +frac{3}{8} -frac{9}{16} -frac{13}{64}=-frac{9}{64} neq 0\a=frac{1}{2}Rightarrow P(frac{1}{2})=frac{1}{2^5} -frac{1}{4} *frac{1}{2^4} -frac{3}{2} *frac{1}{2^3} +frac{3}{8} *frac{1}{2^2} +frac{9}{16}*frac{1}{2} -frac{13}{64}=0$

$a_2=frac{1}{2}$

используем схему горнера:(см. вложение)

Получим:

$(a-frac{1}{2})^2(a^3+frac{3}{4}a^2-a-frac{13}{16})=0$

$a^3+frac{3}{4}a^2-a-frac{13}{16}=0\16a^3+12a^2-16a-13=0$

Используем формулу Кардано:

уравнение вида

ax^3+bx^2+cx+d=0

с помошью замены

$x=y-frac{b}{3a}$

приводим к виду

$y^3+py+q=0$

где:

$p=frac{3ac-b^2}{3a^2}\q=frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$

Для данного уравнения(для удобства a заменим на x):

$16x^3+12x^2-16x-13=0\a=16; b=12; c=-16; d=-13$

$p=frac{3ac-b^2}{3a^2}=frac{3*16*(-16)-12^2}{3*16^2} =-frac{19}{16} \q=frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}=frac{2*12^3+9*16*12*16+27*16^2*(-13)}{27*16^3} =-frac{17}{32}$

Определим величину Q:

$Q=(frac{p}{3})^3+(frac{q}{2})^2=(frac{-frac{19}{16} }{3} )^3+(frac{-frac{17}{32}}{2} )^2=frac{59}{6912}$

Q>0 => уравнение имеет один действительный и два комплексно-сопряженных корня

Ищем только действительный корень:

$y=sqrt[3]{-frac{q}{2}+sqrt{Q}}+sqrt[3]{-frac{q}{2}-sqrt{Q}}=sqrt[3]{-frac{17}{64}+sqrt{frac{59}{6912}}}+sqrt[3]{-frac{17}{64}-sqrt{frac{59}{6912}}}$

$x=sqrt[3]{-frac{17}{64}+sqrt{frac{59}{6912}}}+sqrt[3]{-frac{17}{64}-sqrt{frac{59}{6912}}}-frac{1}{4}$

В итоге:

$a_3=sqrt[3]{frac{17}{64}+sqrt{frac{59}{6912}}}+sqrt[3]{frac{17}{64}-sqrt{frac{59}{6912}}}-frac{1}{4}approx1,0175notin [-1;1]$

обратная замена:

$sinx=0\x_1=pi n,n in Z\sinx=frac{1}{2}\x_2=frac{pi}{6}+2pi n, n in Z\x_3=frac{5pi}{6}+2pi n, n in Z\$

Ответ: $x_1=pi n,n in Z; x_2=frac{pi}{6}+2pi n, n in Z; x_3=frac{5pi}{6}+2pi n, n in Z$

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

$sin^2x+dfrac{1}{4}sin^23x=sin xsin^23x\ \\$

В левой части уравнения применим неравенство Коши

$sin^2x +dfrac{1}{4}sin^23xgeq 2sin xcdot dfrac{1}{2}sin3x=sin xsin 3x$

Поэтому это равенство возможно, когда

$displaystyle left[begin{array}{ccc}sin x=0\ \ sin 3x=1end{array}right~~~Rightarrow~~~left[begin{array}{ccc}x_1=pi k,k in mathbb{Z}\ \ x_2=dfrac{pi}{6}+dfrac{2pi n}{3},n in mathbb{Z}end{array}right$ — ОТВЕТ.

решить тригонометрическое уравнение

Ответ

Проверено экспертом

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения

решить тригонометрическое уравнение ​

Ответ

Проверено экспертом

Ответ

Проверено экспертом

решить тригонометрическое уравнение