Решить тригонометрическое уравнение

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

$Big(cos 4x-cos 2xBig)^2=5+sin 3x\ \ Big(2cos^2x-1-cos 2xBig)^2=5+sin 3x\ \ left(2left(cos 2x-dfrac{1}{4}right)^2-dfrac{9}{8}right)^2=5+sin 3x$

Оценим левую и правую части уравнения

$-1leq cos 2xleq 1~~~bigg|-dfrac{1}{4}\ \ -dfrac{5}{4}leq cos 2x-dfrac{1}{4}leq dfrac{3}{4}\ \ 0leq left(cos 2x-dfrac{1}{4}right)^2leq dfrac{25}{16}~~~|cdot 2\ \ \ 0leq 2left(cos 2x-dfrac{1}{4}right)^2leq dfrac{25}{8}~~~bigg|-dfrac{9}{8}\ \ \ -dfrac{9}{8}leq 2left(cos 2x-dfrac{1}{4}right)^2-dfrac{9}{8}leq 2\ \ \ 0leq left(2left(cos 2x-dfrac{1}{4}right)^2-dfrac{9}{8}right)^2leq 4$

Правая часть уравнения:

$-1leq sin 3xleq 1~~~|+5\ \ 4leq 5+sin 3xleq 6$

Как видим, уравнение верно когда $(cos 4x-cos 2x)^2=4$ или $5+sin 3x=4$

$(cos 4x-cos 2x)^2=4\ \ cos 4x-cos 2x=pm 2\ \ 2cos^22x-cos 2x-1=pm2$

Уравнение $2cos^22x-cos 2x-1=-2$ решений не имеет, поскольку если решить уравнение как квадратное уравнение относительно cos2x то его дискриминант < 0.

$2cos^22x-cos 2x-1=2\ \ 2cos^22x-cos 2x-3=0\ \ D=1-4cdot 2cdot (-3)=25\ \ cos 2x=dfrac{1+5}{2cdot 2}=dfrac{3}{2}~~~notin [-1;1]\\\ cos 2x=dfrac{1-5}{2cdot 2}=-1~~~Rightarrow~~~ 2x=pi +2pi n,n in mathbb{Z}\ \ boxed{x=dfrac{pi}{2}+pi n,n in mathbb{Z}}$

$5+sin 3x=4\ \ sin3x=-1\ \ boxed{x=-dfrac{pi}{6}+dfrac{2pi k}{3}, kin mathbb{Z}}$

решить тригонометрическое уравнение

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения

решить тригонометрическое уравнение​

Ответ

Проверено экспертом

решить тригонометрическое уравнение