Диагонали  равнобокой  трапеции  ABCD  пересекаются  под  прямым  углом. BH –высота к большему основанию CD, EF – средняя линия трапеции.а) Докажите, что BH = DH; б) Найдите площадь трапеции, если EF = 5.

А. 1) Проведём BM параллельно АС, продолжим DC, DC пересекается с ВМ в точке М.
2) BD перпендикулярно АС, ВМ параллельно АС, то ВМ перпендикулярно BD.
3) Рассмотрим треугольник BDM: ВМ перпендикулярно BD, то тр. BDM - прямоугольный. АС=ВМ (как стороны параллелограмма АВМС), то тр. BDM - равнобедренный. ВН - высота, а, значит, и медиана, тогда DH=HM. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине, следовательно, ВН = DM:2 = DH, ч.т.д.

Б. 1) Проведём высоту АН1: АВ=Н1Н, DH1=НС.
2) АВ = DC - DH1 - HC = DH - HC; DC = DH + HC; EF = (AB+DC):2=(DH-HC+DH+HC):2=DH.
DH=BH, то EF=BH=5.
3) S=(AB=DC):2 * BH=EF*EF=5*5=25.
Ответ: 25.