Необходимо решить систему уравнений. Найти значение параметра, при котором нет решений, 1 решение, и x принадлежит R
$left { {{ax+2y=a+2 atop {2ax+(a+1)y=2a+4}} right.$

Ответ

Проверено экспертом

Автор - AnonimusPro

$left { {{ax+2y=a+2 atop {2ax+(a+1)y=2a+4}} right.$

приведем оба уравнения системы к виду y=kx+b(уравнение прямой).

$1) ax+2y=a+2\2y=a-ax+2\2y=-a*x+a+2\y=-frac{a}{2}*x+frac{a+2}{2} \2) 2ax+(a+1)y=2a+4\2ax+ay+y=2a+4\y(a+1)=-2ax+2a+4\y=-frac{2a}{a+1} *x+frac{2a+4}{a+1}$

Если две прямые $y_1$ и $y_2$ заданы уравнениями $y_1=k_1x+b_1$ и $y_2=k_2x+b_2$ , то на плоскости они могут быть:

1) $k_1=k_2$ и $b_1neq b_2$ - прямые параллельны, следовательно они не пересекаются и, следовательно, система из таких прямых не имеет решений.

2) $k_1=k_2$ и $b_1=b_2$ - прямые совпадают, следовательно, система из таких прямых будет иметь бесконечное множество решений.

3) $k_1neq k_2$ - прямые пересекаются в одной точке, следовательно, система из таких прямых будет иметь только одно решение.

Применим это для решения данной задачи:

$y_1=-frac{a}{2}*x+frac{a+2}{2}\k_1=-frac{a}{2}; b_1=frac{a+2}{2}\y_2=-frac{2a}{a+1} *x+frac{2a+4}{a+1}\k_2=-frac{2a}{a+1}; b_2=frac{2a+4}{a+1}\$

$1)left { {{k_1=k_2} atop {b_1neq b_2}} right. Rightarrow left { {{-frac{a}{2}=-frac{2a}{a+1}} atop {frac{a+2}{2}neq frac{2a+4}{a+1}}} right. Rightarrow left { {{-a^2-a=-4a} atop {a^2+2a+a+2neq 4a+8}} right. Rightarrow left { {{a^2-3a=0} atop {a^2-a-6neq 0}} right. \a^2-3a=0\a(a-3)=0\a_1=0; a_2=3\a^2-a-6=0\D=1+24=25=5^2\ a_{3,4}=frac{1pm 5}{2} =3; -2$

$left { {{left[ begin{array}{cc}a=0\a=3end{array}right. } atop {left[ begin{array}{cc}aneq 3\aneq -2end{array}right.}} right. Rightarrow a=0$

Значит, при a=0 данная система не имеет решений.

$2)left { {{k_1=k_2} atop {b_1= b_2}} right. Rightarrow left { {{-frac{a}{2}=-frac{2a}{a+1}} atop {frac{a+2}{2}= frac{2a+4}{a+1}}} right. Rightarrow left { {{-a^2-a=-4a} atop {a^2+2a+a+2= 4a+8}} right. Rightarrow left { {{a^2-3a=0} atop {a^2-a-6= 0}} right.\left { {{a^2-3a=0} atop {a^2-a-6= 0}} right.\a^2-3a=0\a(a-3)=0\a_1=0; a_2=3\a^2-a-6=0\D=1+24=25=5^2\ a_{3,4}=frac{1pm 5}{2} =3; -2\a_2=a_3Rightarrow a=3$

Значит, при a=3 данная система имеет бесконечное множество решений.

При остальных значениях a система будет иметь только одно решение:

$3)-frac{a}{2}neq -frac{2a}{a+1}\a^2-3aneq 0\aneq 0; aneq 3\ain (-infty;0)cup (0;3)cup (3;+infty)$

В итоге:

$a=0 Rightarrow xin varnothing\a=3Rightarrow xin R$

$ain (-infty;0)cup (0;3)cup (3;+infty) Rightarrow$ система имеет одно решение.

Ответ: a=0 => система не имеет решений(x∈∅)

a=3 => система имеет бесконечное множество решений(x∈R)

a∈(-∞;0)∪(0;3)∪(3;+∞) => система имеет одно решение.