Нормальное g₁ и тангенциальное g₂ ускорения связаны с мгновенным значением угла ф вектора скорости следующими соотношениями:
g₁ = gCosф
g₂ = gSinф
Очевидно, что их равенство достигается при ф = 45°
то есть когда вертикальная и горизонтальная составляющие скорости свободно летящего тела оказываются равны друг другу.
Таким образом, задача сводится к определению высоты, на которой постоянная величина горизонтальной составляющей скорости
v₀₁ = v₀Cosα
становится равной вертикальной составляющей скорости
v₂, которая во время полёта меняется по величине от
v₀₂ = v₀Sinα
в момент броска и до
v₂ = 0
на максимальной высоте.
Можно показать, что в любой момент полёта текущее значение вертикальной составляющей скорости связано с начальным значением вертикальной составляющей скорости и текущей высотой следующим равенством:
mv₂²/2 + mgh = mv₀₂²/2 = mv₀²Sin²α/2
или, сокращая m
v₂²/2 + gh = v₀²Sin²α/2
При достижении значения v₂ величины горизонтальной составляющей
v₀₁ = v₀Cosα
вертикальная и горизонтальная составляющая становятся равными друг другу, полный вектор скорости обретает наклон 45° к горизонту и нормальное ускорение становится равным тангенциальному.
Подставим эту величину в равенство, связывающее текущее значение высоты с вертикальной составляющей мгновенной скорости:
v₀²Cos²α + 2gh = v₀²Sin²α
откуда получим выражение для искомой высоты:
h = (v₀²Sin²α - v₀²Cos²α)/2g = v₀²(Sin²α - Cos²α)/2g = v₀²(3/4 - 1/4)/2g = v₀²/4g
h = v₀²/4g