В треугольнике АВС АС=1 см, АВ=2 см, О – точка пересечения биссектрис. Отрезок, проходящий через точку О, параллельно стороне ВС, пересекает стороны АС и АВ в точках К и М соответственно. Найдите периметр треугольника АКМ

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Матов

Положим что биссектрисы $BG ; CH ; AL$ .
Так как $KM ||BC$ , то треугольник $Delta AKM$ подобен $Delta ABC$ .
$frac{AK}{1}=frac{AM}{2}\ AM=2AK\ BM=2KC$
Впишем угол $CAB=a$ .
$S_{ABC}=frac{2*1*sina}{2}=sina$
Так как точка пересечения биссектрис , является центром вписанной окружности в данный треугольник.
 $KMBC$ трапеция , то $r$ - радиус вписанной окружности является высотой трапеции .
 $KM= 0.5*KM*sqrt{ 5-4cosa } \ BC=sqrt{5-4cosa}$
Площадь трапеций $S_{KMBC} = frac{frac{2sina}{3+sqrt{5-4cosa}} (AM*0.5*sqrt{5-4cosa}+sqrt{5-4cosa})}{2}\ S_{ABC} = frac{frac{2sina}{3+sqrt{5-4cosa}} (AM*0.5*sqrt{5-4cosa}+sqrt{5-4cosa})}{2}+AM^2*sina*0.25$
то есть приравнивая
$AM=frac{6}{sqrt{5-4cosa}+3}$
Откуда $AK=frac{3}{sqrt{5-4cosa}+3}$
$ KM=frac{3sqrt{5-4cosa}}{sqrt{5-4cosa}+3} \ P_{AKM} = frac{3sqrt{5-4cosa}}{sqrt{5-4cosa}+3} + frac{9}{sqrt{5-4cosa}+3} = 3$