Решите уравнениеtex (e^2x - 5 e^x + 6)^2 = frac | e^x - 2

Ответ

Автор - Artem112

${ ({e}^{2x} - 5 {e}^{x} + 6)}^{2} =dfrac{ | {e}^{x} - 2 | }{ {e}^{x} - 2 } - 1$

ОДЗ: $e^x-2neq 0Rightarrow e^xneq 2Rightarrow xneq ln2$

Замена: $e^x=y>0$

$(y^2 -5y+ 6)^2=dfrac{|y-2|}{y-2}-1$

Раскроем модуль. Первый случай. Пусть $y-2geq 0Rightarrow ygeq 2$ :

$(y^2 -5y+ 6)^2=dfrac{y-2}{y-2}-1$

$(y^2 -5y+ 6)^2=1-1$

$(y^2 -5y+ 6)^2=0$

$y^2 -5y+ 6=0$

$(y-2)(y-3)=0$

$y=2Rightarrow e^x=2$ - не удовлетворяет ОДЗ

$y=3Rightarrow e^x=3Rightarrow boxed{x=ln3}$

Второй случай. Пусть $y-2<0Rightarrow y<2$ :

$(y^2 -5y+ 6)^2=dfrac{-(y-2)}{y-2}-1$

$(y^2 -5y+ 6)^2=-1-1$

$(y^2 -5y+ 6)^2=-2$

Квадрат некоторого выражения не может быть отрицательным, значит в этом случае корней нет.

Ответ: ln3