Найти наибольшее значение функции у=(cos(1/x)/(4cos^2(1/x)+1)

Ответ

Автор - igorShap

Задача равносильна нахождению наименьшего значения функции $f(t)=dfrac{t}{4t^2+1}$ на отрезке $[-1;1]$

$f'(t)=dfrac{1*(4t^2+1)-t(8t)}{(4t^2+1)^2}=dfrac{(-4t^2+1)}{(4t^2+1)^2}=dfrac{(1-2t)(1+2t)}{(4t^2+1)^2}\ f'(t)=0<=>t=pmdfrac{1}{2}$

Знаки производной -1____-____-1/2____+____1/2____-_____1

Тогда для нахождения наибольшего значения необходимо сравнить значения в точках -1 и 1/2

$f(-1)=-1/5\ f(1/2)=dfrac{frac{1}{2}}{4*frac{1}{4}+1}=dfrac{1}{4}$

При этом $y(dfrac{3}{pi})=dfrac{cosdfrac{pi}{3}}{4(cosdfrac{pi}{3})^2+1}=dfrac{frac{1}{2}}{4*frac{1}{4}+1}=dfrac{1}{4}$ - значение достигается исходной функцией по крайней мере в одной точке.

Ответ: $dfrac{1}{4}$