Решите, пожалуйста, кому не сложно. Готовлюсь в контрольной... Докажите равенство. Даю 100 баллов, решите корректно с нормальными объяснениями.

Ответ

Автор - igundane

Хороший способ....................

Автор - yugolovin

$x=sqrt[3]{20+14sqrt{2}}+sqrt[3]{20-14sqrt{2}};$

$x^3=20+14sqrt{2}+20-14sqrt{2}+3sqrt[3]{(20+14sqrt{2})(20-14sqrt{2})}left(sqrt[3]{20+14sqrt{2}}+sqrt[3]{20-14sqrt{2}}right);$

$x^3=40+3sqrt[3]{20^2-(14sqrt{2})^2}cdot x; x^3=40+3sqrt[3]{8}cdot x; x^3-6x-40=0;$

угадываем корень x=4 (впрочем, он нам дан в условии) и раскладываем левую часть в произведение:

$(x-4)(x^2+4x+10)=0;$

вторая скобка в ноль не обращается в силу отрицательности дискриминанта.

Ответ: x=4

Замечание 1. Вместо разложения на скобки можно было сослаться на монотонность левой части.

Замечание 2. Мы воспользовались формулой

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b).$