Помогите с логарифмическим неравенством из вложения, пожалуйста

Ответ

Автор - nafanya2014

ОДЗ:

{4x>0 ⇒ x>0

{32x>0 ⇒ x>0

{
0,25x>0 ⇒ x>0

{log₂(32x)≠0⇒ 32x≠1⇒x≠1/32

{log₂(0,25x)≠0⇒0,25x≠1⇒x≠4

x ∈ (0;1/32) U (1/32;4) U (4;+ ∞ )

Так как в условиях ОДЗ:

$2^{log_{2}4x}=4x\ \$

$log^2_{2}32x>0$

$log_{2}0,25x=log_{2}0,25+log_{2}x=-2+log_{2}x$

Неравенство принимает вид:

$frac{14^{log_{2}x}}{7cdot(log_{2}x-2)}geq frac{(4cdot 4x)^{log_{2}4x}}{4cdot ( log_{2}x-2)}$

$frac{2^{log_{2}x}cdot 7^{log_{2}x}}{7cdot(log_{2}x-2)}geq frac{(4^{2} )^{log_{2}4x} cdot x ^{log_{2}x}}{4cdot ( log_{2}x-2)}$

$frac{xcdot 7^{log_{2}x-1}}{log_{2}x-2}geq frac{4^{2log_{2}4x-1} cdot x ^{log_{2}x}}{ log_{2}x-2}$

$frac{xcdot 7^{log_{2}x-1}}{log_{2}x-2}- frac{4^{2log_{2}4x-1} cdot x ^{log_{2}x}}{ log_{2}x-2}geq 0\ \ frac{xcdot 7^{log_{2}x-1}-4^{2log_{2}4x-1} cdot x ^{log_{2}x}}{log_{2}x-2}geq 0$

Применяем метод интервалов.

Находим нули числителя:

$xcdot 7^{log_{2}x-1}-4^{2log_{2}4x-1} cdot x ^{log_{2}x}=0\ \ xcdot 7^{log_{2}x-1}=4^{2log_{2}4x-1} cdot x ^{log_{2}x}$

Логарифмируем по основанию 2:

$log_{2}(xcdot 7^{log_{2}x-1})=log_{2}(4^{2log_{2}4x-1} cdot x ^{log_{2}x})$

Логарифм произведения заменим суммой логарифмов:

$log_{2}x +log_{2} 7^{log_{2}x-1}=log_{2}4^{2log_{2}4x-1} +log_{2} x ^{log_{2}x}$

Применяем свойство логарифма степени

$log_{2}x +(log_{2}x-1)cdot log_{2} 7=(2log_{2}4x-1)cdot log_{2}4+log_{2} x cdot log_{2}x$

$log^2_{2} x+(3+log_{2} 7)log_{2}x+6=0$

$D=(3+log_{2}7)^2-4cdot 6=log^2_{2}7+6log_{2}x-15$

...

Находим нули знаменателя:

$log_{2}x-2=0\ \ x=4$