Найти область сходимости ряда

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Alexаndr

$displaystylesum^infty_{n=1}frac{n(2x)^n}{n+1}\lim_{ntoinfty}|frac{a_{n+1}}{a_n}|=lim_{ntoinfty}|frac{(n+1)(2x)^{n+1}}{n+2}*frac{n+1}{n(2x)^n}|=|2x|*lim_{ntoinfty}frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}=\=|2x|<1\-1<2x<1\-frac{1}{2}<x<frac{1}{2}\\\x=frac{1}{2}\sum^infty_{n=1}frac{n}{n+1}$

Данный ряд расходится по необходимому признаку сходимости

$displaystyle x=frac{1}{2}\sum^infty_{n=1}frac{(-1)^n*n}{n+1}$

Данный ряд расходится по признаку Лейбница, ряд знакочередующийся однако члены ряда не убывают по модулю. (Предел |a_n| не равен 0)

Соответственно область сходимости ряда:

$xin(-frac{1}{2};frac{1}{2})$