ДРУЗЬЯ, ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ КТО НИБУДЬ ПОЖАЛУЙСТА ПОСЛЕДНИЙ ПРИМЕР ОСТАЛЬСЯ Я СОВСЕМ НЕ ПОНИМАЮ ПРОШУ ПРОШУ УМОЛЯЮ

Ответ

Автор - aastap7775

$int {frac{1}{sqrt{5x^2-5} } - 4^x + frac{7}{cos^2x} } , dx = frac{1}{sqrt{5}} int {frac{dx}{sqrt{x^2-1} } - int 4^x dx + 7int frac{dx}{cos^2x} = frac{1}{sqrt{5}} int {frac{dx}{sqrt{x^2-1} } - frac{4^x}{ln4} + 7*tan(x)$ Теперь отдельно с оставшимся интегралом. Решим его методом замены:

$x = sec(t) => dx = sec(t)*tan(t)dt$

Тогда интеграл примет вид:

$int frac{sec(t)*tan(t)dt}{sqrt{sec^2(t-1)}} = int frac{sec(t)*tan(t)dt}{sqrt{tan^2(t))}} = int frac{sec(t)*tan(t)dt}{tan(t)}} = int sec(t)dt = int frac{dt}{cos(t)}$

$int frac{dt}{cos(t)} = ln(sec(t) + tan(t)) + c$

С учетом замены, получаем, что

$sec(t) = x\tan(t) = sqrt{sec^2(t) - 1} = sqrt{x^2-1}$

Откуда исходный интеграл имеет вид:

$int frac{dx}{sqrt{x^2-1}} = ln(x + sqrt{x^2-1}) + c$

Тогда ответ можно записать так:

$frac{1}{sqrt{5}}*ln(x+sqrt{x^2-1}) - frac{4^x}{2ln2} + 7*tan(x) + c$