В треугольнике АВС медианы АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в точке О. Точки А₂, В₂, С₂ являются серединами отрезков ОА₁, ОВ₁, ОС₁ соответственно. Докажите, что треугольники АВС и А₂В₂С₂ подобны.​

Объяснение:

Если отрезки пересекающихся медиан равны, то и медианы равны.

Если медианы треугольника равны, значит, треугольник равносторонний.

Применив теорему о том, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, найдем длину медиан:

ОА₁=√8, тогда АО=2√8, а АА₁=3√8.

АА₁=ВВ₁=СС₁=3√8=6√2.

В равностороннем треугольнике медиана является биссектрисой и высотой.

Найдем сторону АС через медиану ВВ₁ по формуле

ВВ₁=(АС√3)2

6√2=(АС√3)2

АС√3=12√2

АС=(12√2)√3=4√6

Найдем площадь АВС

S=12 * AC * ВВ₁ = 12 * 4√6 * 6√2 = 2√6 * 6√2 = 12√12=24√3 (ед²