Дан треугольник. Внутри него построены четыре окружности равного радиуса r так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите r, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны 5 и 15 соответственно.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Матов

Очень кондовое решение
Пусть $AB=a \ BC=b \ AC=c \ c=30*sinB\ a=30*sin(A+B) \ b=30*sinA \ $
Последнее через теореме синусов
Тогда , из условию следует что
$sinB+sin(A+B)+sinA = 6*sinB*sin(A+B)*sinA$
Это следствие из формулы $S=pr\ S=frac{abc}{4R}$
Теперь , положим что $angle A= angle B \ $
Из выше описанной формулы следует что $A=B=2arctg( sqrt{frac{5-sqrt{12}}{13}} )\ $
$b=c=5sqrt{24-6sqrt{3}} \ a=10sqrt{5+2sqrt{3}}$
Впишем наш контр пример , в координатную систему $OXY$
$A(0;0) \ B(10sqrt{5+2sqrt{3}};0)$
Тогда центры меньших треугольников будут равны
$O_{A} (r sqrt{5+sqrt{12}} ; r) \ O _{B} ((sqr{5+sqrt{12 })*(10-r) ; r) $
$O_{N} (5 sqrt{5+sqrt{12}} ; y) \ O_{C} (5sqrt{5+sqrt{12}} ; y+2r) $
Найдем координату $y$
Его можно найти
Из уравнения
$(x-rsqrt{5+sqrt{12}}) ^ 2 + (y-r)^2=4r^2 \ ( (x - sqrt{5+sqrt{12}})*(10-r))^2+(y-r)^2=4r^2$
Найдя его , затем учитывая что
$d( O_{A}O_{N}) = 4r^2$
Найдем что $r=3$
Но задача , видимо решается через так называемую ГОМОТЕТИЮ