Докажите что для произвольных чисел а и b выполняется неравенство (а^2+b)(1/a+1/b^2)≥4√(a/b)

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Для положительных a , b применим неравенство Коши

$a^2+bgeq 2asqrt{b}\ dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b^2}geq 2cdot dfrac{1}{bsqrt{a}}$

Перемножив эти неравенства, получим

$(a^2+b)left(dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b^2}right)geq 2asqrt{b}cdot2cdot dfrac{1}{bsqrt{a}}=4sqrt{dfrac{a}{b}}$

Для отрицательных это неверно. Можно было сразу контр-пример привести: a = b = -1, то неравенство будет 0 ≥ 4, что неверно. Поэтому ваше утверждение "для произвольных a и b" - ложно.