Найдите площадь фигуры...

Ответ

Автор - papagenius

Ответ:

Объяснение:

Найдем точки пересечения параболы y = x² + 1 и прямой y = x + 3

$[left{begin{gathered}y={x^2}+1hfill\y=x+3hfill\end{gathered}right.Leftrightarrowleft{begin{gathered}{x^2}+1=x+3hfill\y=x+3hfill\end{gathered}right.Leftrightarrowleft{begin{gathered}{x^2}-x=2hfill\y=x+3hfill\end{gathered}right.Leftrightarrowleft{begin{gathered}{x^2}-x-2=0hfill\y=x+3hfill\end{gathered}right.Leftrightarrowleft{begin{gathered}{x_1}=-1,{x_2}=2hfill\{y_1}=2,{y_2}=5hfill\end{gathered}right.]$

Парабола и прямая пересекаются в точках (-1; 2) и (2; 5)

Для того, чтобы получить площадь фигуры ограниченной линиями, необходимо вычислить определенный интеграл вида:

$displaystyle [intlimits_a^b{left({f(x)-g(x)}right)}dx]$

где a = x₁; b = x₂

$displaystyle [intlimits_{-1}^2{(x+3)dx-intlimits_{-1}^2{({x^2}+1)dx=}}left({frac{{{x^2}}}{2}+3x}right)mathop|limits_{-1}^2-left({frac{{{x^3}}}{3}+x}right)mathop|limits_{-1}^2=]$

$displaystyle[left({left({frac{{{2^2}}}{2}+3cdot2}right)-left({frac{{-{1^2}}}{2}+3cdot(-1)}right)}right)-left({left({frac{{{2^3}}}{3}+2}right)-left({frac{{-{1^3}}}{3}+(-1)}right)}right)=left({8+2.5}right)-left({frac{{14}}{3}+frac{4}{3}}right)=10.5-6=boxed{4.5}]$