Найдите объем тела... — вопрос №283855

Ответ

Автор - papagenius

Ответ:

Объяснение:

Найдем точки пересечения графиков y = x³ и y = 4x

$[left{begin{gathered}y=4xhfill\y={x^3}hfill\end{gathered}right.Leftrightarrowleft{begin{gathered}{x^3}=4xhfill\y={x^3}hfill\end{gathered}right.Leftrightarrowleft{begin{gathered}{x^2}=4hfill\y={x^3}hfill\end{gathered}right.Leftrightarrowleft{begin{gathered}{x_1}=2,{x_2}=-2hfill\{y_1}=8,{y_2}=-8hfill\end{gathered}right.]$

Графики функций пересекаются в точках (2; 8) и (-2; -8)

Для того, чтобы получить объем фигуры ограниченной линиями, необходимо вычислить определенный интеграл вида:

$displaystyle [V={V_1}-{V_2}=piintlimits_a^b{f{{(x)}^2}-g{{(x)}^2}dx}]$

Так как по условию x ≥ 0, то a = 0, b = x₁ = 2

$[begin{gathered}f(x)=4xhfill\g(x)={x^3}hfill\end{gathered}]$

$displaystyle [{V_1}=piintlimits_0^2{{{(4x)}^2}dx=piintlimits_0^2{16{x^2}dx=16picdotfrac{{{x^3}}}{3}}mathop|limits_0^2=16picdotfrac{{{2^3}}}{3}-}16picdotfrac{{{0^3}}}{3}=frac{{128pi}}{3}]$

$displaystyle[{V_2}=piintlimits_0^2{{{left({{x^3}}right)}^2}dx=piintlimits_0^2{{x^6}dx=picdotfrac{{{x^7}}}{7}}mathop|limits_0^2}=picdotfrac{{{2^7}}}{7}-picdotfrac{{{0^7}}}{7}=frac{{128pi}}{7}]$

$displaystyle[V=frac{{128pi}}{3}-frac{{128pi}}{7}=boxed{frac{{512}}{{21}}pi}]$