Даны два уравнения ax^2 + bx + c = 0 и cx^2 + bx + a = 0, в которых все коэффициенты ненулевые. Оказалось, что они имеют общий корень, Верно ли , что a = c?

пусть k -общий корень, 
тогда
ak^2 +bk +c =0
ck^2 + bk +a = 0
или
ak^2 +bk +c = ck^2 + bk +a
k^2(a-c) =a-c,
что всегда выполняется при a=c или
 при k = +-1, в последнем случае не требуется равенства a=c, достаточно чтобы выполнялось a+c = -b, следовательно исходное утверждение a=c неверно.