Вероятность выпуска конкурентом товара равна 0,35. Вероятность того, что товар будет пользоваться на рынке спросом, если конкурент выпустит в продажу аналогичный товар, равна 0,25, а если не выпустит, то 0,8.
а) Какова вероятность того, что товар будет пользоваться на рынке спросом? (не будет?)

б) На конец года оказалось, что товар пользовался на рынке спросом. Какова вероятность того, что в течение года конкурент не выпустил аналогичный товар?

Ответ

Автор - M0RDOK

Для начала, переводим слова в математику:
Определяем множества
$S$ - подмножество, в котором товар пользуется спросом.
$G$ - подмножество, в котором товар выпускается конкурентом
$-G$ - подмножество, в котором товар не выпускается конкурентом

Переводим задачу
$mathbb{P}(S|G)=0.35$ - вероятность спроса, если конкурент выпустит товар
$mathbb{P}(S|-G)=0.8$ - вероятность спроса, если конкурент не выпустит товар
$mathbb{P}(G)=0.25$ - вероятность выпуска товара конкурентом
В первом вопросе нужно найти $mathbb{P}(S)$ , во втором - $mathbb{P}(-G|S)$

Для решения используем закон полной вероятности и формулу Байеса.
$mathbb{P}(S)=mathbb{P}((Scap G)cup(Scap -G))$ - закон полной вероятности.
Понятно, что $G$ и $-G$ - независимы, потому:
$mathbb{P}((Scap G)cup(Scap-G))=mathbb{P}(Scap G)+mathbb{P}(Scap -G)$

Теперь используем формулу:
$mathbb{P}(Acap B)=mathbb{P}(A|B)cdot mathbb{P}(B)$
Подставляем в задачу и получаем:
$mathbb{P}(S)=mathbb{P}(S|G)mathbb{P}(G)+mathbb{P}(S|-G)mathbb{P}(-G)=0.25cdot 0.35+0.8cdot (1-0.35)$

Для решения второго вопроса применяем формулу Байеса:
$mathbb{P}(A|B)=frac{mathbb{P}(B|A)mathbb{P}(A)}{mathbb{P}(B)}$

$mathbb{P}(-G|S)=frac{mathbb{P}(S|-G)mathbb{P}(-G)}{mathbb{P}(S)}=frac{0.8cdot(1-0.35)}{mathbb{P}(S)}$