почему сыграты пишем ы а не и

Есть правило: если приставка заканчивается на согласный, а  корень начинается с буквы И, то после приставки пишется Ы. Например, игра - сЫграть, исход - безЫсходный, июль - предЫюльский.

Правда, правило не касается приставок меж-, сверх (межИнститутский, сверхИнтересный), приставок иностранного происхождения контр-, дез-, пост- (контрИгра, дезИнсекция, постИмпрессионизм) и слов "взимать" и "взимание".