Найдите количество решений уравнения в зависимости от значений параметра `a` ({x}- дробная часть числа `a`): a+{x}=sqrt(2x-x^2). С графиком пожалуйста и подробным объяснением

Ответ

Проверено экспертом

Автор - ArtemCoolAc

Задание врагу не пожелаешь) Не приведи господь его на экзамене.

Что такое вообще дробная часть числа $f(x)= { x }$ ? Это кусочно-разрывная функция. Множество её значений лежит от 0 до 1, причем так: $[0;1)$ . И состоит она из кусков прямых $y=x+m$ , при этом $m in mathbb{Z}$ . (Имею в виду, что эти прямые (их бесконечно много) по факту находятся на расстоянии 1 друг от друга, но все отрезаются по $y$ просто). При этом прямая снизу обрывается при $y=0$ , но без разрыва, а при $y=1$ - сверху и с разрывом, то есть у графика будет бесконечное число выколотых точек вида $(k;1)$ , $k in mathbb{Z}$ .

С этим более-менее разобрались, идем дальше. ${ x }+a$ - описанная выше функция просто переносится по оси OY на $|a|$ единиц (при $a>0$ вверх, при $a<0$ вниз).

Теперь по правой части. Тут попроще.

Пусть у нас $y=sqrt{2x-x^2}$

Возведем в квадрат, да поделаем кое-что:

$y^2=2x-x^2 \ x^2-2x+1+y^2-1=0 \(x-1)^2+y^2=1^2$

А это ни что иное, как уравнение окружности с центром в $(1;0)$ радиусом 1. Но так как у нас в условии корень, да с "+", то это верхняя полуокружность.

А теперь начинается самое веселье. Построим график полуокружности и начнем исследовать положение нашей кусочно-разрывной функции относительно этой полуокружности. Сразу отметим, что все, что находится в левой полуплоскости (левее ОY), нам не нужно (это видно по графику полуокружности), поэтому исследуем только правые "кусочки".

Будем исследовать каждый кусочек отдельно, при этом уже третий кусочек нам нужен только в случае $a=0$ , там будет 1 пересечение (1 корень), в остальных случаях пересечений не будет.

Исследуем второй кусочек:

При $a<-1$ видно, что пересечений точно нет, при $a=-1$ крайняя точка - как раз точка "разрыва", поэтому пересечений не будет, далее будет 1 пересечение, пока левая граница "кусочка" не выйдет из-за полуокружности, это будет при $a=1$ , при этом в нем нет разрыва, поэтому при $a=1$ пересечение ещё будет, поэтому имеем:

при $ain (-infty; -1] cup (1; +infty)$ 0 корней, при $ain(-1;1]$ - 1 корень

Теперь исследуем первый кусочек, он самый неприятный. Видно, что прямая может иметь с частью полуокружности 0,1 или 2 общие точки. При $a=0$ точек будет 1, потому что это только на левом конце прямой, на правом там разрыв.

Далее до некоторого $a_0$ будет 2 точки пересечения, при $a_0$ (это значения параметра, при котором первый кусочек будет касаться полуокружности) будет 1 точка пересечения, при $a>a_0$ будет 0 точек пересечения. Найдем это $a_0$

Так как касательных к окружности может быть две, но одна из них к нижней части полуокружности, которой у нас вообще нет, то остается лишь 1 касательная, которую мы и ищем фактически (но когда мы найдем, их окажется 2 как раз из-за окружности, поэтому надо будет взять верхнюю, то есть у которой значение a больше, дальше увидим).

Далее вспомним, что у 1-го кусочка прямая задается как $y=x+a$ , у 2-го кусочка $y=x-1+a$ , у 3-его $y=x-2+a$ , а так как мы ищем пересечение как раз 1-го кусочка с полуокружностью, то здесь опустим как раз дробную часть и сможем нормально решить уравнение.

Сразу говорю, у нас получится квадратное уравнение, нам нужно единственное решение, это значит, что $D=0$ .

$x+a=sqrt{2x-x^2}; x^2+2ax+a^2=2x-x^2; 2x^2+2(a-1)x+a^2=0; \ D_1=(a-1)^2 -2a^2=a^2-2a+1-2a^2=-a^2-2a+1; D_1=0 Rightarrow \ Rightarrow -a^2-2a+1=0; a^2+2a-1=0; D_{1a}=1-(-1)=2; a=-1pm sqrt{2}$

Вот как раз эти два значения, берем верхнее, то есть большее

$a=-1+ sqrt{2}$

Теперь как-то структурируем ответ

При $a leq -1$ решений 0.

При $-1 <a<0$ будет 1 решение с 2-го кусочка.

При $a=0$ будет 1 решение с 1-го кусочка, 1 решение со 2-го и 1 решение с 3-его,то есть 3 решения.

При $0<a<-1+ sqrt{2}$ будет 2 решения с 1-го кусочка и 1 решение с 1-го кусочка, то есть 3 решения.

При $a=-1+ sqrt{2}$ будет 1 решение с 1-его кусочка и 1 решение со 2-го, то есть 2 решения.

При $-1+ sqrt{2}<a leq 1$ будет только 1 решение со 2-го кусочка

При $a>1$ будет 0 решений.

Объединяя все сказанное, получаем, что:

при $a in (-infty; -1] cup (1; + infty)$ 0 решений,

при $a in (-1;0) cup (-1+ sqrt{2}; 1]$ 1 решение,

при $a in { {-1 + sqrt{2} } }$ 2 решения,

при $a in [0; -1 + sqrt{2})$ 3 решения

P.S. К сожалению, наделать миллион графиков не так просто, функция ${x}$ уж больно необычная, особенно для параметра) Надеюсь, что решение более-менее понятно