Доказать, что векторы p={1,3,1}, q={7,-1,4}, r={-1,2,3} создают базис и разложить x={-4,13,16} за этим базисом. левую или правую тройку они создают?
Спасибо за помощь!

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Перепишем векторное уравнение в матричном виде

$left(begin{array}{ccc}1&7&-1\3&-1&2\ 1&4&3end{array}right|leftbegin{array}{ccc}-4\13\16end{array}right)$

Проверим создают ли заданные векторы базис. Для этого найдем определитель матрицы

$left|begin{array}{ccc}1&7&-1\3&-1&2\1&4&3end{array}right|=1cdot (-1)cdot 3+7cdot 2cdot 1+3cdot 4cdot (-1)-(1cdot (-1)cdot (-1)+\ \ +7cdot 3cdot 3+4cdot 2cdot 1)=-73ne0$

Поскольку определитель матрицы не равен нулю, то данная система векторов является базисом.

От второй строки отнимем первую строку, умноженной на 3 и от третьей строки отнимем первую строку

$left(begin{array}{ccc}1&7&-1\ 0&-22&5\ 0&-3&4end{array}right|leftbegin{array}{ccc}-4\25\20end{array}right)$

От первой строки отнимем вторую строку , умноженной на (-7/22). Сложим третью строку и вторую строку, умноженной на 3

$left(begin{array}{ccc}1&0&frac{13}{22}\ 0&1&-frac{5}{22}\ 0&0&frac{73}{22}end{array}right|leftbegin{array}{ccc}frac{87}{22}\ -frac{25}{22}\ frac{365}{22}end{array}right)$

Заранее поделим третью строку на 73/22. Далее от первой строки отнимем третью строку, умноженной на 13/22; сложим вторую строку и третью строку, умноженной на 5/22

$left(begin{array}{ccc}1&0&0\ 0&1&0\ 0&0&1end{array}right|leftbegin{array}{ccc}1\0\5end{array}right)$

Разложение: $overline{x}=1cdotoverline{p}+0cdot overline{q}+5cdot overline{r}=overline{p}+5overline{r}$

Доказать, что векторы p={1,3,1}, q={7,-1,4}, r={-1,2,3} создают базис и разложить x={-4,13,16} за этим базисом. левую или правую тройку они создают? Спасибо за помощь!

Ответ

Проверено экспертом

Доказать, что векторы p={1,3,1}, q={7,-1,4}, r={-1,2,3} создают базис и разложить x={-4,13,16} за этим базисом. левую или правую тройку они создают?
Спасибо за помощь!