Сторона правильного восьмиугольника a1a2a3a4a5a6a7a8 равна 6. найдите диагонали a1a3 a1a4 a1a5

Ответ

Автор - Хуqожнuк

Ответ:

$A_1A_3=12sin67,5^{circ}\ \ A_1A_4=6sqrt{8sin^267,5^{circ}-1}\ \ A_1A_5=12sqrt{2}sin67,5^{circ}$

Объяснение:

Пусть O -- центр правильного многоугольника.

Если из точки O провести отрезки OA₁, OA₂,..., ОA₈, то получится 8 равных равнобедренных треугольников (по трём сторонам). Углы при вершинах этих треугольников будут равны и в сумме давать 360°. Тогда:

1. $angle A_1OA_2=frac{360^{circ}}{8}= 45^{circ}$

Рассмотрим ΔOA₁A₂:

A₁A₂ = 6, ∠O = 45°

∠A₁ = ∠A₂ (свойство р/б Δ)

$angle A_1=frac{180^{circ}-angle O}{2} =frac{180^{circ}-45^{circ}}{2} =67,5^{circ}$

Применим теорему синусов:

$frac{A_1A_2}{sinangle O}=frac{A_2O}{sinangle A_1}\ \ frac{6}{sin 45^{circ}}=frac{A_2O}{sin67,5^{circ}}\ \ A_2O=frac{6sin67,5^{circ}}{sin45^{circ}}=frac{6sin67,5^{circ}}{frac{1}{sqrt{2}}}=6sqrt{2}sin67,5^{circ}$

2. A₁A₅ = 2A₁O = 2 * 6√2 sin67,5° = 12√2 sin67,5°

3. Рассмотрим ΔA₁A₃O:

∠A₁OA₃ = 2∠A₁OA₂ = 90°

A₁O = OA₃ = 6√2 sin67,5°

В р/б прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на √2, т.е.

A₁A₃ = √2 * 6√2 sin67,5° = 12 sin67,5°

4. Рассмотрим ΔA₁A₄A₅:

A₁A₅ = 12√2 sin67,5°, A₄A₅=6

∠A₁A₄A₅ = 90°

По теореме Пифагора найдём гипотенузу A₁A₄:

$A_1A_4=sqrt{(A_1A_5)^2-(A_4A_5)^2}=sqrt{(12sqrt{2}sin67,5^{circ})^2-6^2}=\ \ =sqrt{144cdot2sin^267,5^{circ}-36}=sqrt{36(8sin^267,5^{circ}-1)}=6sqrt{8sin^267,5^{circ}-1}$

сторона правильного восьмиугольника A1A2A3A4A5A6A7A8 равна 6. найдите диагонали A1A3 A1A4 A1A5

Ответ

Ответы и объяснения