Две стороны остроугольного треугольника равны соответственно 13 см и 20 см. Радиус описанного около треугольника круга 65/6 см. Найдите третью сторону треугольника.

Обозначим треугольник АВС, центр описанной окружности - О.
Пусть АВ = 20 см, ВС - 13 см.
Центр описанной окружности находится на пересечении срединных перпендикуляров.
cos ABO = 10*6/65= 12/13             sin ABO = √(1-(144/169)) = 5/13.
cos CBO = 13*6/(2*65) = 6/10        sin CBO = √(1-(36/100)) = 8/10.
Косинус угла В определим как косинус суммы двух углов:
cos B = (2/13)*(6/*10) - (5/13)*(8/10) = 32/130 = 16/65.
Третью сторону находим по теореме косинусов:
АС = √(20²+13²-2*20*13*(16/65)) = √(400+169-128) = √441 = 21 см.