Найдите целое значение параметра a, при котором сумма квадратов корней уравнения x^2 +x−2ax+ 2+a^2 = 0 принимает наименьшее значение

Ответ

Автор - ArtemCoolAc

А вообще интересная задача, по ходу решения возникают некоторые интересности, которые обязательно отметим.

Перепишем уравнение в более красивый и читаемый вид:

$x^2+(1-2a)x+a^2+2=0; p=1-2a; q=a^2+2$

Это уравнение приведенное уже, поэтому коэффициенты в таком виде.

Теперь запишем теорему Виета:

$$left { {{x_1+x_2=-p } atop {x_1cdot x_2=q}} right. Rightarrow left { {{x_1+x_2=-(1-2a)} atop {x_1cdot x_2=a^2+2}} right. Rightarrow left { {{x_1 + x_2=2a-1} atop {x_1cdot x_2=a^2+2}} right.$

Но нам нужна сумма квадратов корней уравнения, но это не проблема, у нас есть все, чтобы выразить её через известные величины.

$x_1^2+x_2^2=x_1^2+2cdot x_1cdot x_2+x_2^2-2cdot x_1 cdot x_2= (x_1+x_2)^2-2cdot x_1 cdot x_2= \ (2a-1)^2-2cdot (a^2+2)=4a^2-4a+1-2a^2-4=2a^2-4a-3 Rightarrow \ Rightarrow boxed{x_1^2+x_2^2=2a^2-4a-3}$

И вот здесь сейчас начнется веселье.

Нам нужно, чтобы это выражение было наименьшим.

Исследуя функцию $f(a)=2a^2-4a-3$ , понимаем, что это парабола с ветвями, направленными вверх, то есть точка минимума в вершине, она же единственный экстремум, который находится из уравнения

$f'(a)=0 Rightarrow 4a-4=0 Rightarrow a=1$

Вроде бы нашли это значение. Но давайте проверим его)

$x^2+x-2cdot 1cdot x+2+1^2=0 \ x^2-x+2=0 \ D=(-1)^2-4cdot 1cdot 2 = 1=-8=-7<0$

Но это неудивительно. Вот те самые самые интересные моменты.

Почему вообще так получилось? Есть такая вещь в математике, как комплексные числа. Кратко: нужно решить уравнение $x^2=-9$ , математикам очень захотелось, поэтому уравнение имеет решения, конкретно у этого уравнения их два, это $x=pm 3i$

$i$ - мнимая единица, такое число, что $i^2=-1$

Комплексное число $z$ имеет вид: $z=x+icdot y$ , то есть у него есть мнимая и действительная часть.

Так вот: у любого уравнения, у которого вид $f^n(x)=0$ , где $f^n(x)$ - многочлен n-ой степени, всегда будет n корней (учитывая их кратность), по следствию из основной теоремы алгебры. Это я к чему. У квадратного уравнения всегда 2 корня. Просто в ситуациях, когда $D<0$ , эти корни комплексные, в ситуации $D=0$ , корень то один, но кратности 2, но вообще считают, что два равных корня.

В целом, у задачки вид ЕГЭшный, поэтому надо бы ограничиться множеством действительных чисел, но если бы подразумевалось, что мы анализируем и множество комплексных чисел, то ответ был бы $a=1$ . Нужно продолжить. Но пока покажу, почему теорема Виета работает исправно в любых случаях.

Дорешаем уравнение при $a=1$

$$x^2-x+2=0; D=-7; x=frac{1pm isqrt{7}}{2}$

$$x_1+x_2=frac{1+isqrt{7}}{2}+frac{1-isqrt{7}}{2}=frac{1}{2}+frac{1}{2}+frac{isqrt{7}}{2} -frac{isqrt{7}}{2}=1$

$$x_1cdot x_2=frac{1+isqrt{7}}{2}cdot frac{1-isqrt{7}}{2}=frac{(1+isqrt{7})(1-isqrt{7})}{4}=frac{1^2-(isqrt{7})^2}{4}=$

$$=frac{1-i^2cdot (sqrt{7})^2}{4}=frac{1-(-1)cdot 7}{4}=frac{1+7}{4} =2$

А ведь это именно то, что мы получим по теореме Виета)))

$-p=-(-1)=1=x_1+x_2; q=2=x_1cdot x_2$

Как же не влезать в комплексные числа?

Очевидно, что дискриминант у нашего исходного уравнения не должен быть отрицательным, то есть:

$x^2+(1-2a)x+a^2+2=0\ D=(1-2a)^2-4cdot 1 cdot (a^2+2)=4a^2-4a+1-4a^2-8=-4a-7 geq 0 \ -4a geq 7 Rightarrow aleq-frac{7}{4}$

Единица находится в другой стороне от нашего полученного множества значений $a$ . Получается, что сумма квадратов корней уравнения будет побольше, чем при $a=1$ , и минимальное нецелое $a$ это $$a=-frac{7}{4}=-1.75$ , там будет 2 равных корня. А ближайшее целое значение, удовлетворяющее условию, это $a=-2$ .

Ответ: $boxed{a=-2}$