Откуда появился угол ABM? Как мы его нашли?

Все решение у Вас расписано подробно. 
Объяснение:
По условию нужно найти ∠ АМВ, т.е. угол, образованный при пересечении двух высот. 
Сумма углов треугольника = 180°. 
Значит, угол АМВ=180°-∠ВАМ-∠АВМ.
Для этого нужно найти величину ∠ВАМ и∠АВМ.
∠ВАМ тот же, что∠ВАА₁ 
Величины углов А и В даны в условии. 
Т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то
∠ВАА₁ =90°-∠В=23°
∠АВМ=АВВ₁=90- ∠А=35°
Возвращаемся к треугольнику АМВ. 
Сумма углов =180°. 
∠АМВ=180°-∠ВАМ-∠АВМ=180°-35°-23°=122°