дана функция f(x)=x^3+6x^2+7x-2 напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) параллельной прямой y=-2x+7

Ответ

Автор - Senpai908

Производная данной функции $f'(x)=3x^2+12x+7$

Пусть $x_0$ - абсцисса точки касания прямой к кривой.

Известно, что неизвестная прямая(касательная) параллельна прямой y = -2x + 7, следовательно, у них угловые коэффициенты равны: k = -2.

По геометрическому смыслу производной, мы имеем:

$f'(x_0)=k\ \ 3x_0^2+12x_0+7=-2\ \ 3x_0^2+12x_0+9=0~~|:3\ \ x_0^2+4x_0+3=0$

По теореме Виета получаем $x_0=-3$ и $x_0=-1$

Т.е. имеет две касательные к данной кривой. Найдем их.

Общий вид уравнения касательной: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

Подсчитаем значение функции и значение производной функции в точке $x_0=-3$

$f(-3)=(-3)^3+6cdot(-3)^2+7cdot (-3)-2=4\f'(-3)=3cdot (-3)^2+12cdot (-3)+7=-2$

Уравнение касательной: $y=-2(x+3)+4=boxed{-2x-2}$

Аналогично, подсчитаем значение функции и значение производной функции в точке $x_0=-1$

$f(-1)=(-1)^3+6cdot(-1)^2+7cdot(-1)-2=-4$

$f'(-1)=3cdot (-1)^2+12cdot(-1)+7=-2$

Уравнение касательной: $y=-2(x+1)-4=boxed{-2x-6}$

P.S. Можно было не считать значения производной функции, поскольку это и есть угловой коэффициент k = -2.