Решить дифференциальное уравнение (фото). напишите подробнее

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Пусть $y=ux$ , тогда $y'=u'x+u$ , получаем

$u'x+u=dfrac{3x^2+2ux^2-u^2x^2}{3u^2x^2+2ux^2-x^2}\ \ \ u'x+u=dfrac{3+2u-u^2}{3u^2+2u-1}\ \ \ u'x+u=-dfrac{(u-3)(u+1)}{(3u-1)(u+1)}~~~Rightarrow~~~ u'x+u=dfrac{3-u}{3u-1}\ \ \ u'x=dfrac{3-u}{3u-1}-u~~~Rightarrow~~~ u'x=-dfrac{3(u^2-1)}{3u-1}$

Последнее дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

$dfrac{(3u-1)du}{u^2-1}=-dfrac{3}{x}~~~Rightarrow~~~ displaystyle int dfrac{(3u-1)du}{u^2-1}=-intdfrac{3dx}{x}\ \ \ 3intdfrac{udu}{u^2-1}-intdfrac{du}{u^2-1}=-3dfrac{}{}intdfrac{dx}{x}\ \ \ dfrac{3}{2}ln|u^2-1|-dfrac{1}{2}lnleft|dfrac{1-u}{1+u}right|=-3ln|x|+C\ \ \ ln|1-u|+2ln|1+u|=-3ln|x|+ln C\ \ (1-u)cdot (1+u)^2=dfrac{C}{x^3}$

Выполним обратную замену: u = y/x, получим общий интеграл

$left(1-dfrac{y}{x}right)cdot left(1+dfrac{y}{x}right)^2=dfrac{C}{x^3}$

Решить дифференциальное уравнение (фото). Напишите подробнее

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения