Решите уравнение 9x^4+6x^3-14x^2+x+2=0

Ответ

Автор - ArtemCoolAc

Итак, дано уравнение $9x^4+6x^3-14x^2+x+2=0$

Это уравнение высокого порядка, следовательно, каких-то методов решения в общем виде особо и нет. Поэтому надо что-то придумывать.

Из следствия теоремы Безу, если у такого уравнения, как наше, есть целые корни, то это делители свободного члена.

Сумма коэффициентов не равна 0, значит, х=1 - не корень.

Суммы коэффициентов при четных и нечетных степенях не равны, поэтому х=-1 - не корень. Подставив 2 и -2 в исходное уравнение, убеждаемся, что равенство не выполняется, а значит, у нашего уравнения нет целых корней. Что можно сделать в таком случае?

Как вообще можно получить многочлен четвертой степени? Можно, например, перемножить два квадратных трехчлена. Учитывая, что коэффициент при старшей степени равен 9, попробуем в каждой скобке при квадрате поставить 3 (3*3=9). Тогда получим

$(3x^2+ax+b)(3x^2+cx+d)$

Вообще я сейчас применяю метод неопределенных коэффициентов. Раскрыв скобки, мы получим большое выражение, взяв коэффициенты из нашего исходного выражения мы получим систему, решив которую получим коэффициенты нужного нам разложения.

$(3x^2+ax+b)(3x^2+cx+d)=\=9x^4+3cx^3+3dx^2+3ax^3+acx^2+adx+3bx^2+bcx+bd=\=9x^4+(3c+3a)x^3+(3d+ac+3b)x^2+(ab+bc)x+bd=\=9x^4+6x^3-14x^2+x+2$

Думаю, понятно, откуда система возьмется. Просто при каждой степени приравниваем буквенное выражение к коэффициенту из нашего исходного многочлена. Так как эти условия должны выполняться одновременно, то это будет именно система, а не совокупность.

$begin{Bmatrix} 3c+3a=6 \ 3d+ac+3b=-14\ ad+bc=1\ bd=2 end{matrix}$

Итак, есть система

$begin{Bmatrix} a+c=2 \ 3b+3d+ac=-14\ ad+bc=1\ bd=2 end{matrix}$

Решить её полностью будет сложно, нам нужно хотя бы 1 решение.

Попробуем его подобрать, причем постараемся взять как можно больше целых чисел. a=0, c=2 и a=2, c=0 не подойдут, так как тогда по второму уравнение сумма b и d равна -14/3, но решая 3-е и 4-е уравнения, там одно число будет целым, а у второго знаменатель 2, так что не выполняется. Попробуем взять $a=-1; ; c=3$

Подставляем в 3-е и 4-е уравнения

$$left { {{-d+3b=1} atop {d=frac{2}{b} }} right. ;left { {{3b-frac{2}{b}-1=0 } atop {d=frac{2}{b} }} right. ; left { {{frac{3b^2-b-2}{b}=0 } atop {d=frac{2}{b} }} right. ;$

Квадратное уравнение в числителе легко решается, так как там сумма коэффициентов равна 0, то есть

$$left [ {{b=1} atop {b=frac{c}{a}=-frac{2}{3} }} right.$

К сожалению, взять $b=1 Rightarrow d=2$ не получится, так как тогда все коэффициенты целые, а значит, второе уравнение автоматически не выполнится.

Значит, получаем

$$left { {{b=-frac{2}{3} } atop {d=frac{2}{b} =frac{2}{-frac{2}{3} }=-3 }} right.$

Проверим эти значения на 2-м уравнении.

$$ac+3b+3d=-14: (-1)cdot 3+3cdot bigg(-frac{2}{3} bigg)+3cdot (-3)=-14$

$-3-2-9=-14; -14=-14$

Верно, то есть мы получили те самые коэффициенты разложения

$begin{Bmatrix} a=-1 \ b=-frac{2}{3} \ c=3\ d=-3 end{matrix}$

То есть $9x^4+6x^3-14x^2+x+2=$

$$=bigg(3x^2-x-frac{2}{3} bigg)(3x^2+3x-3)=0$

$$left [ {{3x^2-x-frac{2}{3}=0 : bigg | cdot 3 } atop {3x^2+3x-3=0 : bigg | div 3 }} right. Rightarrow left [ {{9x^2-3x-2=0 : : : (1)} atop {x^2+x-1=0 : : : : : : : : (2) }} right.$

Решаем каждое уравнение:

$(1): 9x^2-3x-2=0; D=(-3)^2-4cdot 9 cdot (-2)=9+72=81=9^2$

$$x_{1,2}=frac{3pm 9}{18}; x_1=-frac{6}{18}=-frac{1}{3}; : x_2=frac{12}{18}=frac{2}{3}$

$$(2): x^2+x-1=0; D=1-4cdot 1 cdot (-1)=5; : x_{3,4}=frac{-1pm sqrt{5} }{2}$

В принципе, упорядочивать корни необязательно, так что так и оставим.

Ответ: $$boxed{-frac{1}{3}; frac{2}{3}; frac{-1pm sqrt{5} }{2} }$

Ответ

Автор - igundane

Воспользовался Схемой Горнера