Помогите с самостоятельной работой пожалуйста!)
1. Обчисліть відстань від середини відрізка AB до точки М, якщо А(-3; 2; 1), В (-1; 4; 3), М (1; 0; -1).

2. Знайдіть координати точки, яка лежить на осі ординат і рівновіддалена від точок А(1; 2; -3), В (-2; 1; 5).

3. Обчисліть довжину медіани ВМ трикутника АВС, якщо А(4; 0; -8),
В (2; 0; 3), С (16; 2; 8).

4. Точки В(-5; 7; 4), С (1; 5; 2), D (9; -3; -4) є вершинами паралелограма АВСD. Знайдіть координати вершини А.

5. Знайдіть координати точки, у яку перейде точка В (1; -2; 3) у результаті послідовного виконання симетрії відносно початку координат та паралельного перенесення, яке переводить точку А (-4; 5; 6) у точку
А1 (-7; 2; 9).

Ответ

Проверено экспертом

Автор - dnepr1

1) Прямая AB задана
двумя точками: A(-3, 2,
1)B(-1, 4,
3)

Задана точка M(1, 0, -1)

Проекция
точки M на прямую AB имеет координаты K(xk, yk, zk)

xk = -36 / 12 = -3 = -3

yk = 24 /
12 = 2 = 2

zk = 12 /
12 = 1 = 1

|MK| =
sqrt(3456) / 12 = 4.89897948556636
Это расстояние было
найдено по
формуле: |MK| = sqrt((xk-xm)^2+(yk-ym)^2+(zk-zm)^2)
Координаты векторов AB, AM равны: AB = (2, 2, 2), AM = (4, -2,
-2).
Координаты
векторного произведения AB и AM [ABxAM] = (0, 12, -12).

Модуль векторного
произведения AB и AM |[ABxAM]| = sqrt(288) = 16,9705627484771

Длина отрезка
AB|AB| = sqrt(12).

Расстояние
от точки M до прямой AB вычисляется по формуле |MK| = |[ABxAM]| / |AB|

|MK| = sqrt(288 / 12) = 2 * sqrt(6) = 4,89897948556636.

Ответ: Координаты проекции точки M на прямую AB

K(-3,
2, 1)

Расстояние
от точки S до прямой AB:

|MK| = 2 * sqrt(6).

2) А(1; 2; -3), В (-2; 1; 5)

Для
того, чтобы на оси ординат найти точку, равноудаленную от точек А и В,
надо найти точку пересечения плоскости, проведенную через точку К
перпендикулярно вектору АВ (А;В;С), с
осью У.

Уравнение такой плоскости имеет вид:

А(Х-Хк) + В(У-Ук) + С(Z-Zк) = 0.

АВ = (-2-1=-3; 1-2=-1; 5-(-3)=8).

АВ =(-3; -1; 8).

Находим
координаты точки К - середины отрезка АВ:

Хк =
(Ха+Хв)/2 = (1-2)/2 = -1/2.

Ук =
(Уа+Ув)/2 = (2+1)/2 = 3/2.

Zk =
(Zа+Zв)/2 = ((-3)+5)/2 = 1.
К = (-1/2;3/2;1).

Плоскость
КУ = -3(X-(-1/2))
- (Y-(3/2)) + 8(Z-1) = 0

При
пересечении этой плоскостью оси У координаты Х и Z равны 0.

Тогда КУ
= -3/2 - У + 3/2 - 8 = 0
У = -8.
Это и
есть координата на оси У точки, равноудаленной от точек A и В.

3. Обчисліть довжину медіани
ВМ трикутника АВС, якщо А(4; 0; -8),

В (2; 0;
3), С (16; 2; 8).

Координаты точки М как середины отрезка
АС:

М = ((4+16)/2=10; (0+2)/2=1;
(-8+8)/2=0).

М =(10; 1; 0)

Длина медианы ВМ = √(10-2)²+(1-0)²+(0-3))²)
= √(64+1+9) = √74 = 8.60233.

4. Точки В(-5; 7; 4), С (1; 5; 2), D (9; -3; -4) є вершинами паралелограма АВСD. Знайдіть координати вершини А.
Находим координаты точки К - середины отрезка ВД:
Хк = (Хв+Хд)/2 = (-5+9)/2 = 2.
Ук = (Ув+Уд)/2 = (7+(-3))/2 = 2.
Zk = (Zв+Zд)/2 = (4-4)/2 = 0.
К = (2;2;0;).
Точка А симметрична точке С относительно точки К (это середина диагонали АС параллелограмма АВСД).
Ха = 2Хк - Хс = 2*2 - 1 = 3.
Уа = 2Ук - Ус = 2*2 - 5 = -1.
Zа = 2Zк - Zс = 2*0 - 2 = -2.
А = (3;-1;-2).