В  прямоугольнике  ABCD  точки  M  и    N  ―  середины  сторон  AB  и  CD  соответственно.  Через  точку  M  проводится  прямая,  пересекающая  диагональ  АС  в  точке  Р  и  продолжение  стороны  ВС  в  точке  Q,  причем  точка  В  лежит  между  точками С и Q. Докажите, что  угол  MNP   =углу    MNQ

Я продолжу PN за точку N до пересечения с продолжением QC. Пусть точка пересечения Q1; 
PC пересекает NM в середине, поэтому из подобия PMN и PQQ1 точка C - середина QQ1. 
Значит NQ1 = NQ, и по теореме Фалеса PN/NQ1 = PM/MQ;
то есть PN/NQ = PM/MQ; это свойство биссектрисы. То есть NM - биссектриса угла QNP.
то есть ∠PNM = ∠QNM;