sin(7x) - sin(x) = √2 cos(4x).
2sin((7x-x)/2)*cos((7x+x)/2) = √2 cos(4x).
2sin(3x)*cos(4x) = √2 cos(4x).
После сокращения на cos(4x) получаем:
2sin(3x) = √2
sin(3x) = √2 / 2
3х₁ = Arc sin (√2/2) = (-π/4) + 2πk
х₁ = (-π/12) + 2πk/3
3х₂ = Arc sin (√2/2) = (π/4) + 2πk
х₂ = (π/12) + 2πk/3.
При сокращении на cos(4x) были утеряны корни.
Можно уравнение 2sin(3x)*cos(4x) = √2 cos(4x) преобразовать:
2sin(3x)*cos(4x) - √2 cos(4x) = 0.
cos(4x)*(2sin(3x) - √2) = 0
Отсюда находим утерянные корни:
cos(4x) = 0
4х₃ = Arc cos 0 = (π/2) + πk
х₃ = (π/8) + πk/4