Определить траекторию точки М, которая движется в плоскости так, что ее расстояние от точки остается вдвое больше расстояния от прямой . Параллельным переносом осей координат привести полученное уравнение к каноническому виду и построить обе системы координат и найденную траекторию.

По условию задания составим уравнение расстояния произвольной точки М(х; у) от точки P(1; 1) в 2 раза большего, чем от точки М до прямой y = 4.

√((x-1)² + (y - 1)²) = 2*|y-4)|.

Модуль в правой части взят, чтобы длина не была отрицательной для точек, расположенных ниже линии у = 4.

Возведём обе части в квадрат.

x² - 2x + 1 + y² -2y + 1 = 4*(y² - 8y + 16).,

Приведём подобные: x² - 2x - 3y² + 30y - 62 = 0.

Выделим полные квадраты.

(x² - 2x + 1²) - 1² + (-3y² + 30y - 3*25) + 3*25 - 62 = 0.

(x - 1)² - 3(y - 5)² = -12.

Разделим обе части на -12.

-((x - 1)²)/12 + ((y - 5)²)/4 = 1.

Получено искомое уравнение. Это уравнение гиперболы.

Его можно представить так: -((x - 1)²)/(2√3)² + ((y - 5)²)/2² = 1.

Центр её расположен в точке (1; 5), но она повёрнута на 90° по сравнению с канонической.

Полуоси: мнимая равна а =2√3, мнимая b = 2.

Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами  

Определим параметр c: c² = a² + b² = 12 + 4 = 16 .

c = √16 = 4.  

Тогда эксцентриситет будет равен: е = с/а = 4/2√3 = 2/√3.

Однако для перехода к канонической форме надо  осуществить поворот на 90 градусов и переписать уравнение. Для этого следует поменять местами значения полуосей и переставить «минус» к переменной «игрек»:

((x - 5)²)/2² - ((y - 1)²)/(2√3)² = 1.

Более детальное решение приведено во вложении. Там же даны графики полученной линии.