Точки А, В, С лежат на окружности с центром в точке О. Дуга АВ относится к дуге АС как 2:3. Дуга АВ<180°, дуга АС<180°, угол ВАС=55°. Чему равен угол АОС?

∪AB / ∪AC = 2/3  ⇒     ∪AC = 3∪AB/2 = 1,5∪AB

∠BAC = 55°  - вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается
⇒  ∪BC = 2*∠BAC = 2*55° = 110°
Дуги AB, AC и BC образуют окружность, значит, в сумме дают 360°
∪AB + ∪AC + ∪BC = 360°
∪AB + 1,5∪AB + 110° = 360°
2,5∪AB = 250°
∪AB = 100°
∪AC = 1,5∪AB = 1,5 * 100° = 150°
∠AOC - центральный, равен дуге, на которую опирается. ⇒
∠AOC = ∪AC = 150°

Ответ: ∠AOC = 150°