Пожалуйста, помогите с этим заданием, нужно определить сколько ответов имеют уравнения или неравенства. срочно!

Ответ

Автор - genius20

Первое задание

$9^x+8 cdot 3^x=9$

Сделаем замену $3^x=y$ , при этом $9^x=(3^2)^x=(3^x)^2=y^2$ . Получим уравнение:

$y^2+8y=9\y^2+8y-9=0$

Тут по теореме Виета сразу видно, что первый корень равен единице. Тогда второй корень равен –9.

Вернёмся к исходной переменной:

$3^x=1 quad Longrightarrow quad x=0\3^x=-9 quad Longrightarrow quad x in varnothing$

Ответ: одно решение.

Второе задание

$7^{x^2+x}<49\7^{x^2+x}<7^2$

Основания степеней больше единицы, поэтому, переходя к неравенству показателйе, знак сохранится:

$x^2+x<2\x^2+x-2<0$

Приравняем левую часть выражения к нулю, решим через дискриминант и разложим на множители:

$x^2+x-2=0\D=1^2+4 cdot 2=9\sqrt{D}=3\x_1=dfrac{-1+3}{2}=dfrac{2}{2}=1\x_2=dfrac{-1-3}{2}=dfrac{-4}{2}=-2\x^2+x-2=(x-1)(x+2)\(x-1)(x+2)<0$

Применив метод интервалов, получим, что $-2<x<1$ . Поскольку неравенство строгое, имеем два целых решения: –1 и 0.

Ответ: два решения.

Третье задание

$lg (x+2)+lg(3-x)=lg(6+x-x^2)$

ОДЗ:

$x>-2, qquad x<3$

Или $-2<x<3$

Или $-1 leqslant x leqslant 2$ (ведь речь о целых числах).

Теперь решим уравнение:

$lg[(x+2)(3-x)]=lg(6+x-x^2)\(x+2)(3-x)=6+x-x^2\3x+6-x^2-2x=6+x-x^2\x+6-x^2=6+x-x^2\0=0$

Решений было бы бесконечное количество, если бы не ОДЗ: под него подпадают только числа –1, 0, 1, 2 (то есть четыре штуки).

Ответ: четыре решения.

Четвёртое задание

$log_3(7-2x) leqslant 2\log_3(7-2x) leqslant log_39$

ОДЗ:

$7-2x>0\-2x>-7\2x<7\x<3{,}5\x leqslant 3, quad x in mathbb Z$

Основание логарифма больше единицы, поэтому при переходе к неравенству выражений под логарифмом знак сохранится:

$7-2x leqslant 9\-2xleqslant 2\-xleqslant 1\x geqslant -1$

Решений было бы бесконечное количество, но с учётом ОДЗ получим: $-1 leqslant x leqslant 3$ . Здесь решениями будут числа –1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: пять решений.