Помогите решить пожалуйста ! даю 35 балов!

Ответ

Автор - QDominus

Мы видим показательное уравнение, а именно сумму 2 показательных функций с разными основаниями. Приведём к одному основанию:

$sqrt{5 + sqrt{24} } = sqrt{5 + 2 sqrt{6} } = sqrt{ { (sqrt{2} + sqrt{3}) }^{2} } = |sqrt{2} + sqrt{3} | = sqrt{2} + sqrt{3}$

$sqrt{5 - sqrt{26} } = sqrt{5 - 2 sqrt{6} } = sqrt{ {( sqrt{2} - sqrt{3}) }^{2} } = | sqrt{2} - sqrt{3} | = sqrt{3} - sqrt{2}$

Выразим √3 - √2 через √2 + √3:

$sqrt{3} - sqrt{2} = frac{ (sqrt{3} - sqrt{2})( sqrt{3} + sqrt{2}) }{ sqrt{3} + sqrt{2} } = frac{1}{ sqrt{3} + sqrt{2} } = ( sqrt{3} + sqrt{2} )^{ - 1}$

Подставляем:

$( sqrt{3} + sqrt{2} )^{x} + ( sqrt{3} + sqrt{2} )^{ - x} = 10$

Делаем замену: (√3 + √2)^х = t, t > 0:

$t + {t}^{ - 1} = 10 \ t + frac{1}{t} - 10 = 0 \ frac{ {t}^{2} - 10t + 1}{t} = 0 \ {t}^{2} - 10t + 1 = 0 \ d = {10}^{2} - 4 = 96\ t_{1} = frac{10 + sqrt{96} }{2} = 5 + 2sqrt{6} \ t_{2} = frac{10 - sqrt{96} }{2} = 5 - 2 sqrt{6}$

Все корни входят в область допустимых значений, поэтому пишем обратную замену:

$( sqrt{3} + sqrt{2} )^{x} = 5 + 2 sqrt{6} \ x_{1} = log_{ sqrt{3} + sqrt{2} }(5 + 2 sqrt{6} )$

$( sqrt{3} + sqrt{2} )^{x} = 5 - 2 sqrt{6} \ x_{2} = log_{ sqrt{3} + sqrt{2} }(5 - 2 sqrt{6} )$

Эти корни и являются решением уравнения.

Помогите решить пожалуйста ! Даю 35 балов!

Ответ

Ответы и объяснения